Integration im R^n, Quader und Cantormenge

12.06.2010, 17:44

Tarnfara

Integration im R^n, Quader und Cantormenge

Hallo, ich habe einige Probleme mit dem aktuellen Übungszettel:
42) Finden Sie eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[o,1]^2 \to [0,1] \end{eqnarray*}$ für die folgendes gilt:
1. f ist über $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ riemannintegrierbar;
2. $\begin{eqnarray*} f(.,y):[0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$ ist nicht für alle $\begin{eqnarray*} y \in [0,1] \end{eqnarray*}$ riemannintegrierbar;
3. $\begin{eqnarray*} f(x,.):[0,1] \to [0,1] \end{eqnarray*}$ ist nicht für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ riemannintegrierbar.

43) Seien $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb R^n, N \subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ quadrierbar. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} M \times N \subseteq \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray*}$ quadrierbar ist und $\begin{eqnarray*} | M \times N | = |M| \dot |N| \end{eqnarray*}$ gilt.

44) Berechnen Sie das Volumen (im Sinne des Jordaninhalts) des n-dimensionalen Ellipsoids um 0 mit den Halbachsen $\begin{eqnarray*} a_1, \cdots, a_n > 0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit des Volumens der Einheitskugel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

45)
1. a) Ist die Cantormenge kompakt ?
b) Ist die Cantormenge abzählbar ?
c) Ist die Cantormenge quadrierbar ? Wenn ja, wie lautet ihr Jordaninhalt ?
2. Wie ändert sich ihre Antwort, wenn sie jeweils die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Cantormenge mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,\frac{1}{3}) \end{eqnarray*}$ betrachten ?

Was ich bislang versucht habe:

zu 42)
- Zunächst habe ich gedacht, dass ich versuchen sollte, irgendwie eine Abwandlung der Dirichletfunktion zu verwenden und diese dann so zusammenzusetzen, dass sie konstant und damit einfach integrierbar wird. So kann ich mir zwar alles passend definieren, allerdings ist meiner Ansicht nach die Aufgabenstellung hier, dass man wirklich eine Funktion explizit angibt und dann mit ein- und derselben Funktion die "inneren" Integrale berechnet. Das funktionierte mit meiner Variante nicht.

- Als nächstes habe ich versucht Funktionen der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+a)^m \cdot (y+b)^n} \end{eqnarray*}$ so zu basteln, dass die Einzelfunktionen auf [0,1] jeweils unbeschränkt sind, sich die "Definitionslücke(n)" aber irgendwie rauskürzt. Ich bin dabei nicht sonderlich systematisch vorgegangen, habe aber nach 4 Stunden den Eindruck gewonnen, dass dies nicht zum Ziel führt. Wie ich es auch immer angestellt habe, hatte ich dann auch wieder ein uneingentliches Integral in der Gesamtfunktion. Mein Versuch, dieses durch Quader zu approximieren ist kläglich gescheitert.

- Gerade kommt mir noch die Idee, dass ich das Gesamtintegral von meinen letzten Funktionen vielleicht gar nicht durch Quader approximieren müßte. Zieht das Argument, dass die Funktion auf $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ riemannintegrierbar ist, auch wenn sie zB für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \cdot (1,1) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, weil das ja im Bezug auf den Quader eine Nullmenge ist ? Anschaulich macht das für mich allerdings keinen Sinn, wenn wenn die Funktion auf dieser Geraden gegen unendlich geht, dann wird sie auf dem Quader auch nicht integrierbar sein ?

- Abgesehen davon, soll der Bildbereich ja auch im Intervall [0,1] liegen. Ich sehs einfach nicht.

- riemannintegrierbar heißt bei uns, dass Ober- und Unterintegral übereinstimmen, Lebesgue-Integrale kennen wir nicht.

Zu 43)
Dies schien mir eigentlich eine simple Aufgabe zu sein, die irgendwie sofort klar ist, allerdings bekomme ich es nicht formalisiert ! :-(
Meine bisherige Argumentation lief darauf hinaus, dass ich ausgehend von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \times \mathbb R^n \cong \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray*}$ "behauptet" habe, dass ein Quader im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray*}$ sich aus einem Quader aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ und einem Quader aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zusammensetzt. Bzw, dass die "Unterquader" sich zu einem passenden Quader zusammenfügen und dann der Elementarinhalt dieser neuen Quader durch $\begin{eqnarray*} \prod_{i=0}^m (m_i - m'_i) \cdot \prod_{i=0}^n (n_i - n'_i) \end{eqnarray*}$ zusammensetzt und daher für das Supremum bzw. Infimum der entsprechenden Quadersummen die Behauptung gelten müsste. Das erscheint mir jedoch etwas schwammig, weil diese anschaulich klaren Dinge vom Himmel fallen. :-(
Das heißt, ich weiß nicht, wie ich hier mathematisch korrekt zeigen soll, dass das kartesische Produkt eines Quaders aus M mit einem Quader aus N ein Quader in $\begin{eqnarray*} M \times N \end{eqnarray*}$ ist.

zu 44)
Zunächst habe ich erstmal eine Gleichung für einen Ellipsoid, der bis zum jetzigen Zeitpunkt nirgends behandelt wurde, aus einer Formelsammlung gesucht. Wenn mich nicht alles täuscht, müßte der Ellipsoid durch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac{x_i^2}{a_i^2}= 1 \end{eqnarray*}$ gegeben sein.

Nun müßte ich den Inhalt dieser Menge durch Quader approximieren und da hörts dann bei mir auf. Ich dachte, ein anderes Vorgehen, wäre eventuell die Gleichung jeweils nach einer Komponente aufzulösen (sollte kein Problem sein, da die Ableitung eingeschränkt auf eine Veränderliche invertierbar ist, solange die Veränderliche nicht null ist) und dann ausgehend vom zweidimensionalen Fall, induktiv jeweils das Integral unter der implizit gegebenen Kurve zu berechnen (Ich wollte den Fall: "Berechnen Sie den Flächeninhalt des Einheitskreises" verallgemeinern.) Allerdings haben wir bislang nirgends festgehalten, dass der Jordaninhalt mit dem Berechnen iterierte Integrale übereinstimmt. :-(.

Eine dritte Idee von mir war, den Inhalt der Einheitskugel als gegeben vorauszusetzen (steht ja auch in der Aufgabe) und diese dann "irgendwie" zu Verformen, so dass ich meinen Ellipsoid erhalte. Daran habe ich mich allerdings bisher noch nicht richtig versucht, ist das eurer Meinung nach ein geeigneter Ansatz ?

Zu 45)
Ich habe mich zunächst mit dem Spezialfall der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Cantormenge beschäftigt. Da das Stück, das man hier herausnimmt eine feste Länge hat, erreicht man nach einer endlichen Anzahl von Schritten, den Punkt, an dem das zu entfernende Stück größer ist, als die vorhandene Menge. Das heißt der Schnitt all dieser Mengen ist leer.
Daraus habe ich geschlossen, dass die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Cantormenge für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kompakt ist, da die leere Menge beschränkt und abgeschlossen ist, abzählbar ist, da die leere Menge null Elemente enthält, quadrierbar ist, da $\begin{eqnarray*} |M|_{außen} = 0 \Rightarrow |M|_{innen} = 0 \end{eqnarray*}$ und ihr Jordaninhalt (so von uns definiert) 0 beträgt.

Für die eigentliche Cantormenge bin ich nun nicht sicher, wie vorzugehen ist. Bisher hänge ich mich an dem Gedanken auf, dass ich nicht entscheiden kann, ob sie kompakt ist oder nicht.
Ich favorisiere die Argumentation, dass ich unendlich viele Intervallschachtelungen durchführe und somit der Durchschnitt aller "Untercantormengen" oder wie auch immer man die nennen möchte, jeweils unendlich viele isolierte Punkte produziert. Da all diese Punkte isoliert sind, müßte die Cantormenge kompakt sein, da sie abgeschlossen und beschränkt ist ?
Ich bin jedoch überhaupt nicht sicher, ob durch die Grenzprozesse nicht doch etwas ganz anderes passiert.
Die Cantormenge ist nach meiner Vermutung abzählbar, da ich in jedem Induktionsschritt k $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ Intervallschachtelungen hinzugewinne ?

Über Quadrierbarkeit habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.

Vielen Dank an alle, die sich all das hier durchlesen und antworten im Voraus !

Grüße,

C.

13.06.2010, 12:00

gonnabphd

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Hi,

1) Wäre vielleicht hilfreich, wenn du "quadrierbar" kurz definieren könntest.

2) Bei der Aufgabe (42) würde ich der Verwendung der Dirchletfunktion nocheinmal etwas mehr Aufmerksamkeit schenken.

3) (44) Hmm, ich würde wohl eine Transformation vorschlagen, welche die Kugel in einen Ellipsoid verformt und dann schauen, wie das Volumen eines einzelnen Quaders darunter verformt wird.

4) (45):

Zitat:

Ich habe mich zunächst mit dem Spezialfall der $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Cantormenge beschäftigt. Da das Stück, das man hier herausnimmt eine feste Länge hat, erreicht man nach einer endlichen Anzahl von Schritten, den Punkt, an dem das zu entfernende Stück größer ist, als die vorhandene Menge. Das heißt der Schnitt all dieser Mengen ist leer.

Nein. Man konstruiert diese Mengen analog zur Cantormenge indem man jeweils das mittlere $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -tel entfernt.

Da die Cantormenge beschränkt ist, bleibt nurnoch zu entscheiden, ob sie auch abgeschlossen ist. Sind die einzelnen Teilschritte denn abgeschlossen? Und wie war das nochmal mit Durchschnitten von abgeschlossenen Mengen...?

Zur Abzählbarkeit ist - glaube ich - das Standardargument eine Surjektion von der Cantormenge auf [0,1] zu suchen und dabei eine ähnliche Darstellung wie die Dezimaldarstellung zu verwenden.

13.06.2010, 14:25

Tarnfara

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Zitat:

Original von gonnabphd
Hi,

1) Wäre vielleicht hilfreich, wenn du "quadrierbar" kurz definieren könntest.

Hallo, besten Dank !

Eine Menge heißt Quader Q, wenn $\begin{eqnarray*} Q= \left[ \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_i \le b_i \forall 1 \le i \le n \end{eqnarray*}$

Sein Elementarinhalt $\begin{eqnarray*} |Q| \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (b_i - a_i) \end{eqnarray*}$

Zwei Quader heißen fremd, wenn $\begin{eqnarray*} Q_1 \cap Q_2 = \emptyset \end{eqnarray*}$

Eine Menge S heißt Quadersumme, wenn $\begin{eqnarray*} S = \bigcup_{i=1}^r Q_i, Q_i \end{eqnarray*}$ paarweise fremd.
In diesem Fall ist ihr Inhalt (Volumen, Fläche, etc...) gegeben durch $\begin{eqnarray*} |S| = \sum_{i=1}^r |Q_i| \end{eqnarray*}$

Schließlich heißt M quadrierbar, wenn
$\begin{eqnarray*} sup \{ |S| : S \subseteq M, S Quadersumme\} = inf \{ |S| : M \subseteq S, S Quadersumme \} \end{eqnarray*}$

In diesem Fall bezeichnet $\begin{eqnarray*} |M| = sup ...= inf ... \end{eqnarray*}$ ihren Jordaninhalt.

Ich bin hier mittlerweile auch etwas weiter. Also ich habe gezeigt, dass ein Quader aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \times \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wieder ein Quader in den entsprechenden kleineren Räumen bildet. Dadurch habe ich die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |S| \le |M| |N| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} S \subseteq M \times N \end{eqnarray*}$ und hänge da im Moment fest.

Zitat:

2) Bei der Aufgabe (42) würde ich der Verwendung der Dirchletfunktion nocheinmal etwas mehr Aufmerksamkeit schenken.

Hmm. Da fehlt es mir wirklich an Ideen. Ich darf ja die Gesamtfunktion nicht willkürlich aus den Einzelfunktionen zusammensetzen. Das ist bestimmt wieder sowas, das total einfach ist, wenn man es weiß. *seufz*

3)

Zitat:

(44) Hmm, ich würde wohl eine Transformation vorschlagen, welche die Kugel in einen Ellipsoid verformt und dann schauen, wie das Volumen eines einzelnen Quaders darunter verformt wird.

Ich denke, dass ich (44) gelöst habe.
Ich habe mir überlegt, wenn ich einfach mal M als Einheitskugel im R^n bezeichne, dann erhalte ich den Ellipsoid, in dem ich die Vektoren aus M mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {a_1}^2 & \cdots & 0 \\ \vdots & {a_2}^2 & \vdots \\ 0 & \cdots & {a_n}^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziere und umgekehrt mit der inversen Matrix. Entsprechend mutiplizieren sich auch die Quader und ihre Summen, so dass ich für den Inhalt des Ellipsoids $\begin{eqnarray*} |I| = \left(\prod_{i=1}^n {a_i}^2 \right) \cdot |M| \end{eqnarray*}$ erhalte.

Zitat:

Also, danke erstmal für den Hinweis. Ich hatte bei der Def auf dem Zettel ein n übersehen. Das wäre böse geendet.

- Ich mag meine Intervallschachtelungen zwar, aber deine Argumentation ist einfacher. Beliebige Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen. Bei jedem Induktionsschritt habe ich eine endliche Vereinigung abgeschlossener Intervalle, also sind sie jeweils abgeschlossen. Ihr Durchschnitt bleibt im Grenzwert abgeschlossen. => Kompakt. Danke.

- Das ärgerliche ist, dass wir Abzählbarkeit gar nicht behandelt haben, weder in Lina noch in Ana. Das Einzige, was ich darüber weiß, ich dass ich eine Bijektion zu N bzw. R brauche, um zu zeigen, dass diese Mengen gleichmächtig sind. Außerdem weiß ich noch, dass es zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge keine Bijektion geben kann, dies wollte ich nutzen, weil ich den Eindruck habe, dass ich hier so eine Art Potenzmenge eines Intervalls bilde.

- Da jeder Schritt eine Vereinigung abgeschlossener und fremder Intervalle bildet, sind diese "Teilintervalle" hier meine Quader. Addiert man ihre Längen, so erhält man die Außensummen zu jedem Induktionsschritt. Wenn mich nicht alles täuscht, müßte das Infimum davon null sein und weil die "Innensummen" immer kleiner als die Außensummen aber auch immer größer oder gleich 0 sind, ist die Cantormenge quadrierbar und hat den Jordaninhalt 0. Sie ist also eine Nullmenge.

** Ziemlich abgefahren diese Cantormenge ! **

13.06.2010, 22:39

gonnabphd

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Zitat:

2) Bei der Aufgabe (42) würde ich der Verwendung der Dirchletfunktion nocheinmal etwas mehr Aufmerksamkeit schenken.

... Ich darf ja die Gesamtfunktion nicht willkürlich aus den Einzelfunktionen zusammensetzen. ...

Wieso denn nicht? Vielleicht könntest du ja einfach mal hinschreiben, was du dir unter einer "willkürlich" zusammengesetzten Funktion vorstellst und wie du die Funktion spontan zusammenbasteln würdest.

Zitat:

- Das ärgerliche ist, dasds wir Abzählbarkeit gar nicht behandelt haben, weder in Lina noch in Ana. Das Einzige, was ich darüber weiß, ich dass ich eine Bijektion zu N bzw. R brauche, um zu zeigen, dass diese Mengen gleichmächtig sind. Außerdem weiß ich noch, dass es zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge keine Bijektion geben kann, dies wollte ich nutzen, weil ich den Eindruck habe, dass ich hier so eine Art Potenzmenge eines Intervalls bilde.

Du könntest mal eine bijektive Abbildung von C nach A suchen, wobei

$\begin{eqnarray*} A := \{ (a_1, a_2, ... ) | a_i \in \{0,1\} \} \end{eqnarray*}$

Danach musst du bloss noch zeigen, dass A überabzählbar ist. Dazu sollte dir ein Standardargument einfallen.

14.06.2010, 20:58

Tarnfara

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Zitat:

Original von gonnabphd
Wieso denn nicht? Vielleicht könntest du ja einfach mal hinschreiben, was du dir unter einer "willkürlich" zusammengesetzten Funktion vorstellst und wie du die Funktion spontan zusammenbasteln würdest.

[QUOTE]

Du könntest mal eine bijektive Abbildung von C nach A suchen, wobei

$\begin{eqnarray*} A := \{ (a_1, a_2, ... ) | a_i \in \{0,1\} \} \end{eqnarray*}$

Danach musst du bloss noch zeigen, dass A überabzählbar ist. Dazu sollte dir ein Standardargument einfallen.

Ich glaube, dass Standardargument ist ein Widerspruchsbeweis, in dem man einfach noch eine Folge aus den bereits abgezählten zusammenbaut. Meine mich dumpf daran zu erinnern, sowas ähnliches schonmal gemacht zu haben.

Hier mal mein Stand der Dinge (ich muss leider morgen früh schon abgeben, so dass es dich vermutlich nicht mehr rechtzeitig erreicht).

Zu Nr. 45, einige Notationen meinerseits vorweg:
Ist $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ das n-te Konstruktionsintervall der Cantormenge, so möge es folgende Gestalt haben:

$\begin{eqnarray*} I_n = T_{n,1} \cup T_{n,2} \cup \cdots \cup T_{n, 2^n} = [t_{n,0},t_{n,1}] \cup \cdots \cup [t_{n, 2^n -1}, t_{n,2^n}] \end{eqnarray*}$

Per Induktion habe ich nun gezeigt, dass für ein Konstruktionsintervall $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$
- die Anzahl der Teilintervalle T $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ beträgt,
- die Länge (= Elementarinhalt, wenn man die $\begin{eqnarray*} T_i \end{eqnarray*}$ als Quader auffasst) jedes Teilintervalls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^n} \end{eqnarray*}$ beträgt
- Jedes $\begin{eqnarray*} T_i \end{eqnarray*}$ und damit auch jedes $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Hieraus folgere ich, dass,
- die Cantormenge abgeschlossen und damit auch kompakt ist,
- die Cantormenge quadrierbar ist, denn jedes $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ ist eine Quadersumme, da endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Intervallen (= Quader im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) und für jedes $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} I_n \supseteq C \end{eqnarray*}$ , da C ja gerade der Durchschnitt ist. Da aber $\begin{eqnarray*} |I_n| = \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{3^n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0 \end{eqnarray*}$ ist das Infimum dieser Quadersummen 0, da aber das Supremum der "Innensummen" immer kleiner als die "Außensummen" ist und gleichzeitg größer oder gleich null, muss auch das Supremum = 0 sein. Also ist der Jordaninhalt 0.

So. Was die Bijektion anbetrifft, steh ich auf dem Schlauch. Vielleicht so ?

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \in \mathbb F_2^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge. $\begin{eqnarray*} f(a_n) = x \in C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = \frac{a_n}{3^n} \end{eqnarray*}$

Oder ist das totaler Quatsch ?

EDIT: Nee, das klappt nicht, aber ich glaub, ich bin ihm auf der Spur. Ich versuche gerade die Punkte so darzustellen: Jeder Punkt ist gleichzeitig der Randpunkt irgendeines meiner Teilintervalle. Wenn die Folge 0 Ist, möchte ich "nichts" tun und wenn sie 1 ist, will ich in sozusagen zum Randpunkt eines Folgeintervalls "springen". ... Ich glaube, ich bin immer viel zu anschaulich, um sinnvoll Mathe betreiben zu können. Augenzwinkern

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