Gewinnmaximum & Cournotischer Punkt

12.06.2010, 18:14

Fonsie

Gewinnmaximum & Cournotischer Punkt

Hallo! Eine Preis - Absatz Funktion ist durch folgende Gerade gegeben:

6- $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ für 0 < x < 12

Die Kosten K(x) zu der Menge x sind durch folgendes Polynom gegeben:

K(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}x³-\frac{3}{4}x²+\frac{13}{4}x \end{eqnarray*}$

Gefragt ist nun das Erlösmaximum. Ich hab da 18 raus.
Weiter ist nun gefragt nach dem Gewinnmaximum und dem dazugehörigen gewinnmaximalen Preis, also dem Cournotschen Punkt.

Ich hab aber schon ein Problem bei dem Gewinnmaximum:

Gewinn= Erlös - Kosten

Erlös = Preis * Menge, also
$\begin{eqnarray*} 6-\frac{x}{2}*x \end{eqnarray*}$

Gewinnfunktion müsste also lauten:

$\begin{eqnarray*} 6x-\frac{x²}{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}x³-\frac{3}{4}x²+\frac{13}{4}x \end{eqnarray*}$

oder umgestellt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{12}x³+\frac{1}{4}x²+2 \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Ich glaube, hier hat sich bereits ein Fehler eingeschlichen. Wenn ich jetzt ableite und nach null hin auflöse, kommt nur Quatsch ´raus. Kann mir jemand dabei helfen? Vielen Dank im Voraus!

12.06.2010, 18:22

tigerbine

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RE: Gewinnmaximum & Cournotischer Punkt

Zitat:

Original von Fonsie

Erlös = Preis * Menge, also
$\begin{eqnarray*} 6-\frac{x}{2}*x \end{eqnarray*}$

Da muss eine Klammer um den Preis.

$\begin{eqnarray*} E(X)=p(x)\cdot x = (6-\frac{x}{2})x \end{eqnarray*}$

12.06.2010, 18:26

tigerbine

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RE: Gewinnmaximum & Cournotischer Punkt

13.06.2010, 16:32

Fonsie

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In der Tat, die Klammern fehlen wohl. Aber ist denn die Funktion richtig umgestellt und abgeleitet? Kann ich damit weitermachen?

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{12}x³+\frac{1}{4}x²+2 \frac{3}{4}x \end{eqnarray*}$

13.06.2010, 19:03

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} K(x)=\frac{1}{12}x³-\frac{3}{4}x²+\frac{13}{4}x \end{eqnarray*}$

Also keine Fixkosten?

$\begin{eqnarray*} E(x)=p(x)\cdot x = (6-\frac{x}{2})x = 6x - \frac{1}{2}x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(x)=E(x)-K(x)=6x - \frac{1}{2}x^2 - (\frac{1}{12}x³-\frac{3}{4}x²+\frac{13}{4}x) =-\frac{1}{12}x³+\frac{1}{4}x^2+\frac{11}{4}x \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Nullstelle der Ableitung ist nicht ganzzahlig. Es empfiehlt sich ein Näheurgsverfahren. Alternativ:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

16.06.2010, 12:45

Fonsie

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Vielen Dank schonmal so weit. Ich habe zwar rausgefunden, wo bislang der Fehler lag, weiß aber noch nicht genau, wie ich mit einer kubischen Funktion weiter verfahren soll. Steht als nächstes an, ein X auszuklammern um dann eine Polynomdivision durchzuführen und dann die p-q-Formel zu benutzen?

16.06.2010, 13:19

tigerbine

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Du hast meinen letzten Satz nicht gelesen. PD geht nur bei "exakter" NST (http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...nomdivision.htm). Wenn du eine findest gut, wenn nicht, bleibt nur Näherung. Im Link kannst du dir die Nullstellen berechnen lassen. Augenzwinkern

16.06.2010, 16:02

Fonsie

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Ja, okay. Allerdings kenne ich die Vorgehensweisen bei kubischen Funktionen nicht. Ich weiß nicht, was ich jetzt weiter mit meiner Gewinnfunktion tun soll? (Muss es nicht auch in der Gewinnfunktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}x² statt \frac{5}{4}x² \end{eqnarray*}$ heissen?

16.06.2010, 23:29

mYthos

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Ja, da ist ein Fehler beim Klammern auflösen passiert.
Genauer $\begin{eqnarray*} + \frac 1 4 x^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} - \frac 5 4 x^2 \end{eqnarray*}$
Der Graph stimmt aber!

Mit der Gewinnfunktion kann man die Gewinnschwelle und -Grenze (aufsteigende und abfallende Nullstelle) sowie das Gewinnmaximum ermitteln. Beides geht mit der vorliegenden Gewinnfunktion problemlos. Wo hakt es da bei dir?

mY+

17.06.2010, 19:45

Fonsie

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Bei mir hakt es an der Lösung kubischer Funktionen. Da aber in der Aufgabe weiter nach der Gewinnschwelle, der Gewinngrenze, den minimalen Stückkosten und dem maximalen Stückgewinn gefragt wird, war dies auch bisher gar nicht nötig. Die Fragen konnte ich bisher beantworten. Ich danke trotzdem und werde bestimmt die Hilfe noch einmal beanspruchen.

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