Matrix und ihr Rang

12.06.2010, 21:50

Reneee

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Matrix und ihr Rang

Guten Nabend. Habe mit ein paar Aufgaben Schwierigkeiten. Fangen wir mit folgender Aufgabe an, wo ich vielleicht schon eine Lösung habe.
Im Folgenden wird der Restklassenkörper F 101 genannt.Ich habe es irgendwie nicht geschafft, das die ganze 101 im Index steht.(tigerbine _{101} Es wird gleich nur die 1 unten erscheinen.Ich habe keine Ahnung warum.

Aufgabe

Vervollständigen Sie die Matrix A $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Mat( 3 x 4 , $\begin{eqnarray*} F_{101} \end{eqnarray*}$ ) , so dass die resultierende Matrix den Rang eins hat.

A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} & 13 & 99 & 1 \\ & & & 3 \\ 43 & 75 & & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung

Also ich habe mir gedacht, dass ich die drei linken Zeilen einfach als Vielfachen von der letzten Zeile wähle.So kjönnte man ja nachher alle rauskicken und es bleibt nur noch die rechte Zeile übrig, woedurch die Matrix halt den Rang 1 hat. Ist das so richtig?

Meine Matrix würde dann so aussehen :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{559}{75} & 13 & 99 & 1 \\ 22,36 & 39 & 297 & 3 \\ 43 & 75 & 17,16 & \frac{75}{13} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um die dritte Zeile wegzubekommen, zieht man halt die vierte Zeile 99 mal ab , um die zweite Zeile wegzubekommen zieht man die vierte Zeile 13 mal ab und um die erste Spalte wegzubekommen, zieht man die vierte Spalte so viel von der ersten ab, wie halt das Verhältnis von 43 und 75/13 ist.

So Ok?

Wenn nicht, ist meine Methode falsch oder meine Zahlen falsch?
Und selbst wenn alles ok ist, gibt es vielleicht eine sogar noch einfachere Methode?

Danke für eure Zeit und eure Antworten.

Ach mist, dass kann ja garnicht stimmen sehe ich gerade. Ich habe da die 297 , wlche aber in F101 bestimmt nicht vorkommt.
Ist das Vorgehen aber wenigstens richtig?

13.06.2010, 00:33

MI

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RE: Matrix und ihr Rang
Idee ist richtig - wobei du Zeilen und Spalten vertauschst - aber das spielt keine Rollen, da die Dimension des Zeilenraums ja gerade die Dimension des Spaltenraums ist.

Allerdings bist du, wie du selbst festgestellt hast, noch nicht fertig, da der $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{101} \end{eqnarray*}$ normalerweise als Standarddarstellung die Zahlen $\begin{eqnarray*} 0,...,100 \end{eqnarray*}$ verwendet, vllt. noch $\begin{eqnarray*} -50,...,+50 \end{eqnarray*}$ .
Die 297 ist dein geringstes Problem. Wenn du deine Matrix modulo 101 rechnest, dann simmt der Rang immer noch (warum?).

Das größere Problem sind die Brüche und Dezimalzahlen. Natürlich lassen sich Zahlen finden, die diesen entsprechen (solange der Nenner kein Vielfaches von 101 ist / sonst hättest du keinen Körper), aber das ist natürlich blöd so.
Vermutlich wäre es da besser, wenn du gleich ohne Brüche rechnest. Dazu kannst du dir überlegen, dass es reichen sollte, wenn du folgende Gleichungen (natürlich in $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{101} \end{eqnarray*}$ ) kennst:
$\begin{eqnarray*} 13\cdot x=75 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x\cdot y=1 \end{eqnarray*}$
Damit kannst du dann alles ganz einfach berechnen.

Gruß
MI

13.06.2010, 01:36

Reneee

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Also ich denke mal, dass die 297 ja dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{101} \end{eqnarray*}$ zu 95 werden würde.

13 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ x = 75

Da würde ich jetzt zum Beispiel ganz normal : 13 rechnen.

Aber 75 : 13 gibt doch ne eklige Kommazahl.Also eine irrationale Zahl.

Und $\begin{eqnarray*} x \cdot y = 1 \end{eqnarray*}$ hat natürlich ganz viele Lösungsmöglichkeiten, wobei ich jetzt aber nicht sehe, warum du überhaupt diese Gleichung benutzen möchtest.

13.06.2010, 09:58

Julia2010

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RE: Matrix und ihr Rang
Hallo,

Kannst du mir sagen wie du an den Wert 17,16 gekommen bist?

Danke

13.06.2010, 10:32

MI

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Naja, einfach teilen ist eben nicht so die ganz gute Idee, weil du da nicht weißt, welches Element in deinem Körper diesem entspricht. Natürlich möchtest du effektiv mit 13^(-1) multiplizieren (also teilen), aber eben in IF(101).
Du musst also genauergesagt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 13\cdot x \equiv 75\,\operatorname{mod}\, 101 \end{eqnarray*}$
lösen.
Mit diesem x dann die zweite Gleichung lösen.
Weißt du, wie du solche Kongruenzen löst?

Warum? Naja, damit weißt du, mit welcher Zahl du die erste Zeile multiplizieren musst, um auf die dritte zu kommen und umgekehrt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Überleg's dir auch einmal.

Gruß
MI

13.06.2010, 14:20

bietz

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du sagst wenn ich 13*x =7s mod 101 rechne und dann das x in die zweite gleichung einsetze wüsste ich womit ich multiplizieren müsste.

ich hoffe ich hab das richtig verstanden, mien x ist demzufolge 2 und mein y dann 0,5. damit komm ich aber nicht auf die zeile drei?????

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13.06.2010, 15:07

MI

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wieso sollte

$\begin{eqnarray*} 13*2=26\equiv 75\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$
gelten?

Ich glaube, dir fehlt da noch ein Minus Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Gruß
MI

13.06.2010, 15:17

bietz

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Minus??? irgendwie hab ich grad nen brett vorm kopf

13.06.2010, 15:20

bietz

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der rest von 101 geteilt durch 75 ist doch 26?!

13.06.2010, 16:02

Geolin

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also ich bin bei genau der selben aufgabe. (hallo liebe kommilitonen Augenzwinkern

Augenzwinkern

) und ich habe probleme beim lösen der kongruenz.

$\begin{eqnarray*} 13 * x \equiv 75 mod 101 \end{eqnarray*}$
<=>
(13*x)/101=y1 Rest r
75/101=y2 Rest r

=> y2=0, r=101
d.h. (13*x)/101=y1 Rest 101

so weit bin ich bis jetzt aber ich weiss nicht wie ich das jetzt lösen soll.

13.06.2010, 16:07

bietz

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warum sagst du denn y1 rest r?

13.06.2010, 16:09

Geolin

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y1 ist die variable für das ergebnis von (13*x)/101 und "r" ist die variable für den rest.

13.06.2010, 16:11

bietz

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o.k. soweit komm ich mit smile

smile

warum kann man denn nicht wie ich vorher gesagt habe 26 = 75 mod 101 sagen???

und dann mit den gleichungen von mi weiter rechnen

13.06.2010, 16:19

MI

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Puh. An eurer Stelle würde ich das Lösen von Kongruenzen noch einmal kräftig üben.

Dazu kürzt man die Kongruenz erst einmal durch den Hauptnenner (hier 1, da 101 eine Primzahl ist) und berechnet dann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus die Kongruenz. In diesem Fall:

Löse zunächst $\begin{eqnarray*} 13*y\equiv\,1 \operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Suche $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} 13*a+101*b=1 \end{eqnarray*}$
Dann folgt sicherlich auch
$\begin{eqnarray*} 13*a\equiv 1 \,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Dann bekommt ihr das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der urspr. Kongruenz $\begin{eqnarray*} 13*x\equiv 75\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x=75*y\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$ .

------
In diesem Fall gibt es aber einen Trick:
Es ist $\begin{eqnarray*} -26\equiv 75\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

13.06.2010, 16:20

Geolin

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ok auf gehts smile

smile

13.06.2010, 16:31

bietz

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Geolin hast du jetzt verstanden wie es geht??? wenn ja kannst du mir das vielleicht erklären?

13.06.2010, 16:38

Geolin

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ehrlich gesagt habe ich gerade etwas grundsätzlich probleme beim verstehen der aufgabe...
nehmen wir mal die zahl 75/13 die Reneee in seiner ersten matrix geschrieben hat (im allerersten post). Damit wir die ersten 3 Spalten durch die letzte darstellen können, ist dies doch die einzige Lösung für diese Stelle oder nich? Da (75/13) aber nicht aus IF101 ist, ist dies keine gültige lösung und die ganze idee, die ersten 3 Spalten durch die letzte darzustellen, ist doch nicht mehr möglich oder?

13.06.2010, 16:43

bietz

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genau bei dem gedankengang war ich auch schon und deshalb habe ich mich ja so an die zwei gleichungen von MI geklammert smile

smile

ich verzweifel hier so langsam

aber wenn wir schonmal bei dem arbeitsbaltt sind. bei der zweiten aufgabe.... was für ein raum ist das R1???

13.06.2010, 16:48

Geolin

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ich verstehe deine frage zwar nicht ganz aber ich habe bisher auch nur die erste aufgabe gelöst und versuche mich jetzt an der letzten denke ich

13.06.2010, 16:49

bietz

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dann weiter viel spaß smile

smile

trotzdem danke

13.06.2010, 17:49

MI

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Zitat:

Original von Geolin
Da (75/13) aber nicht aus IF101 ist, ist dies keine gültige lösung und die ganze idee, die ersten 3 Spalten durch die letzte darzustellen, ist doch nicht mehr möglich oder?

Und das ist eben falsch. Die Zahl 75/13 MUSS es in F101 geben, weil dieser schließlich ein Körper ist - also KANN man teilen. Das Problem ist, dass 75/13 keine gültige Darstellung in F101 ist. Du musst also die Zahl finden, die quasi die 75/13 in F101 repräsentiert.

Deswegen will ich herausfinden, für welche Zahl gilt, dass 13*x=75 ist. Wenn du das weißt, dann weißt du auch, dass 75/13=x ist.
Verstanden?

entsprechend umgekehrt: Wenn du 17/13 (also das inverse Element von x in F101) kenntest, dann könntest du das Element in der ersten Zeile, erster Eintrag berechnen, oder?

Gruß
MI

13.06.2010, 18:17

Reneee

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Da bin ich wieder.
Also zuerstmal : Das inverse von 75/13 ist doch 13/75 oder nicht?

Mit den Kongruenzen habe ich mich schon bei der Beschäftigung mit dem chiensischen Restsatz schwer getahen und nicht verstanden gehabt.

Habe auch gerade nochmal das Internet nach Beispielaufgaben durchforstet, aber nichts braucbares gefunden.

Vielleicht könntest du für mich / uns mal eine Beispielaufgabe mit anderen Zahlen hinschreiben, so dass wir zumindestens einmal sehen, wie wir eine solche Gleichung lösen. Wäre glaube ich nicht nur für diese Aufgabe gut, sondern ich würde auch generell mal gerne wissen, wie denn das eigentlich funktioniert.

Vielen Dank für deine Hilfen so weit. ^^

Edit : Ne ich vertuhe mich da mit der Inverse.Wenn ich das richtig verstanden habe, so braucht man die Inverse zu diesem Element aus dem Körper, um auf Rest eins zu kommen.

13.06.2010, 18:30

MI

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Zitat:

Original von MI
Löse zunächst $\begin{eqnarray*} 13*y\equiv\,1 \operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Suche $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} 13*a+101*b=1 \end{eqnarray*}$
Dann folgt sicherlich auch
$\begin{eqnarray*} 13*a\equiv 1 \,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Dann bekommt ihr das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus der urspr. Kongruenz $\begin{eqnarray*} 13*x\equiv 75\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x=75*y\,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$ .

Hier steht, wie's in diesem Fall geht. Das a und das b gibt's aus dem euklidischen Algorithmus.

Versucht es bitte einmal damit!
Ansonsten gebe ich euch dann doch mal einen Teil der Lösung, der einen Trick ausnutzt, der nun einmal nur ganz selten funktionert:

Es gilt: $\begin{eqnarray*} 13*(-2)=-26\equiv 75 \,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$
Nun gilt aber offensichtlich $\begin{eqnarray*} -2\equiv 99 \,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$

Damit gilt aber $\begin{eqnarray*} 13*99\equiv 75 \,\operatorname{mod}\,101 \end{eqnarray*}$
also gilt insbesonder: $\begin{eqnarray*} 99=75/13 \end{eqnarray*}$ in eurem Körper.

Gruß
MI

13.06.2010, 18:43

Reneee

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Dieser Trick ist natürlich sehr nützlich. smile

smile

Aber der funktioniert nur selten sagst du?Schade. smile

smile

Ansonsten :

Bweim euklidischen Algorithmus muss ich sozusagen 101 : 13 rechnen und dann versuchen den ggT, der ja 1 ist , mit a und b darzustellen richtig?
Also so, als würde icch ganz normal den ggT berechnen wollen und diesen dann in einer bestimmten Form darstellen wollen. Solangsam machen die alten Übungsaufgaben auch einen Sinn. ^^

13.06.2010, 18:48

MI

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Ja, dieser erweiterte euklidische Algorithmus ist der Schlüssel zu den Kongruenzen.

Idee ist immer:
Erst einmal die Kongruenz durchkürzen. (Hier nicht nötig, weil mod 101 und 101 ist eine Primzahl).
Dann hast du eine Kongruenz der Form:
$\begin{eqnarray*} c\cdot x\equiv d\,\operatorname{mod}\,e \end{eqnarray*}$
Dann sozusagen die "Einheitslösung" suchen, also die Zahl für die gilt:
$\begin{eqnarray*} c\cdot y\equiv 1\,\operatorname{mod}\,e \end{eqnarray*}$
Das ist immer möglich, weil du schließlich vorher durch den ggT von c und e gekürzt hast.
Um das y hier zu finden --> euklidischer Algorithmus.
Und dann einfach dein Ergebnis mal d nehmen und du hast dein gesuchtes x Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Probier's an dem Beispiel mal aus!

Gruß
MI

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