Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Variabel

12.06.2010, 22:08

Fresh 34

Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Variabel

Meine Frage:
...Im Nebenzimmer hört sie, dass beim ersten Prost die Gläser m-mal klingeln. Dabei sei vorausgesetzt, dass jeder mit jedem anstößt.
Welche Werte sind für m möglich?
Berechnen sie die Anzahl der Personen in Abhängigkeit von m.

Meine Ideen:
Also was mir daszu eingefallen ist ist, dass m proportional zu den Personen steht.
m sowohl gerade als auch ungerade sein kann.

und es gilt \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}

12.06.2010, 22:38

ObiWanKenobi

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Du mußt "eckige klammer auf latex]xxx[/latex]" schreiben, damit latex interpretiert wird.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt !

Personen - Paare
2 ==> 1
3 ==> 2+1 =3
4 ==> 3+2+1 = 6
5 ==> 4+3+2+1 = 10
6 ==> 5+4+3+2+1 = 15
7 ==> 6+5+4+3+2+1 = 21

proportional ist das allerdings nicht, denn die Anzahl der Möglichkeiten steigt überproportional zur Anzahl der "fröhlichen Zecher"

Edit: uuuups! Sorry! Ich wollte meinen Beitrag noch ergänzen und habe versehentlich doppelt gepostet!

12.06.2010, 22:49

Fresh 34

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Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Variabel
ok
danke

hättest du dann eine idee wieich die personenzahl berechne?
denke mal das die formel dazu nicht ausreicht..

12.06.2010, 23:08

ObiWanKenobi

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Ja!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix} = \frac {(m-1) * m} {2} \end{eqnarray*}$

==> löse

$\begin{eqnarray*} x = \frac {(m-1) * m} {2} \end{eqnarray*}$

nach m auf und erhalte die Anzakl der Personen (m) in Abhängigkeit von den "Glaskollisionen" x

13.06.2010, 11:21

Fresh 34

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hm ok hab ich gemacht
ich bekomme für m 1 und 0 heraus
aber iwie scheint mir das bezüglich der aufgabenstellung etwas merkwürdig..
ich hätte mit mehren personen gerechnet
nach diesem ergebnis sind es ja nur 2 verwirrt

13.06.2010, 17:28

ObiWanKenobi

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Nochmal ganz von vorne. Du hast da die Variablen vertauscht und ich hatte es übersehen.

In der Angabe steht die Gläser klingeln m-mal.

Die Anzahl der Personen nennen wir x. Die Anzahl des "klingelns" ist also $\begin{eqnarray*} m=\begin{pmatrix} x \\ 2 \end{pmatrix} = \frac {(x-1) * x} {2} \end{eqnarray*}$

wir haben also nun eine Formel mit der wir bei einer gegebenen Anzahl von Personen ausrechnen können wie oft es klingelt, indem wir die Anzahl der Personen für x einsetzen.
Umgekehrt könne wir natürlich auch für jede gegebene Zahl m (klingelen) die zugehörige Anzahl von Personen (x) ausrechnen.

Ein Beispiel: sei m = 21

$\begin{eqnarray*} 21=\frac {x^2-x} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x-42= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}= \frac{1\pm \sqrt{1+168} }{2} \end{eqnarray*}$

Nur die "+" Lösung ist sinnvoll und ergibt:
x= 7

Wenn wir $\begin{eqnarray*} m= \frac {(x-1) * x} {2} \end{eqnarray*}$ nach x auflösen und nur die Positive Lösung in Betracht ziehen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1+\sqrt{1+8m} }{2} = 0,5 + \sqrt{0,25 + 2m} \end{eqnarray*}$

und das ist die gesuchte Formel um aus einer gegebenen Anzahl von "klingeln" (m) die Anzahl der Personen (x) zu errechnen. Wenn das "klingeln" immer korrekt gezählt wird, ergeben sich für x nur ganzzahlige Lösungen.