Unterräume eines Untervektorraumes

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume eines Untervektorraumes
Also die Aufgabe sieht folgendermaßen aus :

Aufgabe

Sei V ein K-Vektorraum. Als Kette von Unterräumen der Länge n bezeichnen wir eine Folge von Unterräumen mit echten Inklusionen

.

Zeigen Sie die Aussagen:

(i) Ist V ein Vektorraum der Dimension n, so besitzt V eine Kette von Unterräumen der Länge n.

(ii) Besitzt V eine Kette von Unterräumen der Länge m, so gilt dim (V) m .

(iii) Die Dimension von V ist die maximale Länge einer Kette von Unterräumen von V.

Meine Ideen

Also erstmal vorab : Irgendwie hören sich diese Aussagen schon fast äquivalent für mich an. Zumindestens kann man doch die Aussage (ii) aus Aussage (iii) folgern oder nicht?

(i)

dim (V) = n = card (B) n- viele Unterräume

Ich habe mir gedacht, dass ich mir dazu einfach mal die Basen dieser vielen Vektorräume anschaue.Denn die Dimension eines Vektorraums ist ja gleich der Kardinalität seiner Basis. dim (V) = card ( B ) mit B Basis von V
( Untervektorräume bilden ja denke ich auch einen " eigenen " Vektorraum, welcher dan auch wiederum eine Basis besitzen wird. )

Also hat halt der Vektorraum eine Basis , bestehend aus n Vektoren. Dann habe ic halt gesagt, dass man natürlich von n dann immer runterzählen kann und jede " Stufe " nach unten bedeutet dann, dass der geringere Untervektorraum wieder einen Vektor in seiner Basis besitzt. Dabei stoße ich aber auf ein Problem.
Wenn ich sage, dass die Basis von genau n Vektoren enthält, würde das ja bedeuten, dass mein nur einen Vektor in seiner Basis hat. Aber da ist ja dann noch die 0, welche wiederum in liegt.

Soll diese einfach nur beschreiben, dass die 0 Element jedes Unterraumes ist oder soll die 0 wieder ein eigentständiger Unterraum sein?
Im ersten Falle wäre mein ja nur bestehend aus der 0, und somit ist der Nullvektor der eine Vektor seiner Basis.
Im zweiten Fall würde das bedeuten, dass, wenn 0 eine Basis aus einem Vektor hat, mein ja nun praktisch 2 Vektoren als Basis besitzen müsste. Dann wäre die Kette aber nicht mehr n lang, sondern n+1 lang.

So weit erstmal. Was habe ich da vielleicht falsch gemacht oder bin ich schon auf dem richtigen Wege? Und wie siehts mit der Äquivalenz dieser 3 Aussagen aus? Die hären sich alle für mich verdammt ähnlich an.
MI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterräume eines Untervektorraumes
Die Idee mit der Basis ist richtig, allerdings so noch wenig formal.

Die 0 soll den leeren Vektorraum darstellen, wie du schon richtig vermutest. Allerdings wird der Nullraum mitnichten von einem Vektor (dem Nullvektor) erzeugt, seine Basis ist (per Definition) die leere Menge, weil der Nullvektor ohnehin in jedem Vektorraum vorhanden ist.
Dein Problem löst sich damit in Luft auf Augenzwinkern .

Zur Äquivalenz:
Äquivalent sind die Aussagen sicherlich nicht, aber, wie du richtig siehst, ist die zweite Aussage schwächer als die dritte Aussage. Ebenso ist die erste Aussage schwächer als die letzte Aussage. Wenn du also die dritte Aussage gezeigt hast, bist du eigentlich schon fertig Augenzwinkern .

Gruß
MI
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , also danke erstmal für deine Antwort.

Das mit dem wenig formal ist natürlich richtig. ^^
Aber ich denke das werde ich hinkriegen.Wollte sozusagen nur meine Grundidee aufschreiben und dazu ein Feedback bekommen.

Ich mache dann erstmal statt mit (ii) mit (iii) weiter.

Also zu (iii)

Ich habe mir dazu gedacht, dass man da bestimmt irgendwie argumentieren kann, dass die Vektoren einer Basis maximal unabhängig sind und die Basis ein minimales Erzeugendensystem ist.

Wenn wir also für unser nun n+1 Unterräume hätten, dann würden wir doch in der Basis inen Vektor zuviel haben, wodurch die Basis nicht mehr linear unabhängig ist und auch kein minimales Erzeugendensystem darstellt. Dank dem Streichlemma müssten wir also am Ende zu dem Schluss gelangen, dass einer dieser Vektoren gestrichen werden können muss. Also können wir doch nur n Vektoren in unserer Basis haben. Da wir aber dann wieder nur n Vektoren wegstreichen können, gibt aus auch nur n verschiedene Basen für n verschiedene oder eher gesagt enthaltende Unterräume.

Also so " ungefähr " sieht meine Idee aus. Ich habe es jetzt irgendwie nicht geschafft sie vernünftig zu formulieren.Also ich bin selber noch nicht ganz zufrieden mit dem, was da steht. smile Vielleicht noch eine Anregung oder Formulierungshilfe?

Und außerdem : Wenn ich dann 3 bewiesen habe, so kann ich doch auf jedenfall die zweite Aussage aus dieser bewiesenen dritten Aussage folgern oder?
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aus (iii) folgt (ii) fast sofort. Du brauchst für die Gleichheit eben das Wörtchen "maximal" aus (iii) (was eine Existenz impliziert), der Rest ergibt sich dann.

Ich würde sagen, dass die Grundidee deines Beweises zu (iii) in die richtige Richtung geht. Aber wie du es selbst sagst: So ist das kein richtiger Beweis, eher eine Beweisidee. Das die Aussagen im Grunde ja offensichtlich sind, gehe ich davon aus, du sollst an solchen Beweisen eben auch das Beweisen üben, von daher solltest du das eben möglichst genau machen.

Also nehmen wir uns mal die (i) vor.
Zunächst solltest du dir hinschreiben, was du hast: Also wie lautet eure Definition für Dimension? Wie lautet eure Definition für Basis?
Dann geht's los mit einem Vektorraum der Dimension n.
Jetzt versuche dich an deiner Idee entlangzuhangeln: "Herunterzählen" = nur die ersten r Vektoren der Basis nehmen. Dann musst du zeigen: Du hast eine Basis für einen Untervektorraum.
Jetzt zeigen, dass du in jedem Fall n-mal runterzählen kannst und sich die Räume gegenseitig enthalten.

Versuche das mal sauber auszuformulieren!

Gruß
MI
Geolin Auf diesen Beitrag antworten »

bin bei der selben aufgabe und würde gerne wissen ob meine Lösung soweit richtig ist und ob das ganze korrekt formuliert ist.

(ii)
V sein ein K-VR mit dim(V)=n. 0 V_1 V_2 ... V_n. Seit eine Kette von Unterräumen aus V.

Jedes V_i hat eine eigene Basis, aber da stets V_n V_n+1 gilt auch: dim(V_n) dim(V_n+1). D.h. dim(V_n)>= n.


(i)
Gilt dim(V)=n so gilt nach (ii) V_n=V


(iii)
Die Dimension von V ist die maximale Länge einer Kette von Unterräumen von V.
<=> n<=dim(V)
nach (ii) gilt: dim(V)>=n, daher ist die Aussage bereits bewiesen
MI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Geolin
bin bei der selben aufgabe und würde gerne wissen ob meine Lösung soweit richtig ist und ob das ganze korrekt formuliert ist.

(ii)
V sein ein K-VR mit dim(V)=n. 0 V_1 V_2 ... V_n. Seit eine Kette von Unterräumen aus V.

Jedes V_i hat eine eigene Basis, aber da stets V_n V_n+1 gilt auch: dim(V_n) dim(V_n+1). D.h. dim(V_n)>= n.

Quasi. Allerdings ist eine Zahl, also müsste es dann heißen:

Damit gilt aber: .
Damit folgt dann die Behauptung nach Induktion.

Die Basis brauchst du hierfür dann aber nicht. Was du aber noch sagen musst ist, warum denn überhaupt gilt. Dazu musst du nur kurz sagen, was aus und folgen würde.

Zitat:

(i)
Gilt dim(V)=n so gilt nach (ii) V_n=V


Leider nicht. In (i) geht es um die Existenz einer solchen Kette - die folgt nicht aus (ii) (wohl aber aus (iii) ). Du solltest also am besten der Idee deines Kommilitonen folgen und diese Kette KONSTRUIEREN.

Zitat:

(iii)
Die Dimension von V ist die maximale Länge einer Kette von Unterräumen von V.
<=> n<=dim(V)
nach (ii) gilt: dim(V)>=n, daher ist die Aussage bereits bewiesen


Leider auch nicht. Deine n sind, wenn ich das richtig sehe, verschieden.
Wenn du (i) schon bewiesen hast, dann kannst du ja schon einmal sagen, dass es so eine Kette gibt. Und jetzt nimm an, dass es noch eine größere Kette gibt und führe das zu einem Widerspruch.

Gruß
MI
 
 
Geolin Auf diesen Beitrag antworten »

neuer Versuch:
(ii)
jedes V_i hat eine eigene Basis, aber da stets gilt auch: dim(V_m)<dim(V_m+1)
Begründung:
Für alle v aus V_m gilt stets: v ist Element aus V_m+1, also gilt auch für alle b aus B_m: b ist Element aus B_m+1, wenn B_m und B_m+1 die Basen von V_m und V_m+1 sind.
Annahme: B_m=B_m+1 <=> V_m=V_m+1. Widerspruch zu V_m ist eine echte Teilmenge von V_m+1.
=> B_m ist eine echte Teilmenge von B_m+1 d.h. dim(V_m)<dim(V_m+1)

Annahme: dim(V_1)=1.
d.h. dim(V_2)>=2, dim(V_3)>=3,...,dim(V_n)>=n
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