Stetigkeit einer Funktionsstelle suchen?

12.06.2010, 23:59

[email protected]

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit einer Funktionsstelle suchen?

Hi liebe Wissenschaftsmitglieder,
ich bin gerade in der Prüfungsvorbereitung und stecke gerade bei einer Aufgabe fest die wir so auch noch nicht gerechnet haben.

Also gefragt ist für welchen reellen Wert von a ist die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} X_{0} = \pi \end{eqnarray*}$ stetig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \sin(ax-\pi )& -\infty <x<\pi \\ \ln(\frac{x}{\pi }) & \pi \leq x < +\infty \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich möchte jetzt keine Lösung von euch haben, aber wäre nett wenn mir einer Erklären könnte wie ich bei solchen Aufgaben vorzugehen habe.

(Achso die Betragsstriche gehören da nicht hin, habe sie nicht weg bekommen)

tigerbine: \begin{cases} .... benutzen.

13.06.2010, 00:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit einer Funktionsstelle suchen?
1. Frage ist dann doch, was ist $\begin{eqnarray*} f(\pi), \lim_{x \downarrow \pi} f(x),~\lim_{x \uparrow \pi} f(x) \end{eqnarray*}$ Motivation:

13.06.2010, 11:50

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das die Stelle wo sich die beiden Fkt schneiden?
wie bekomme ich a raus?
Was wolltest du mir mit der Graphik verdeutlichen?

13.06.2010, 12:02

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche zwei Funktionen? Du hast doch nur eine, abschnittsweise definierte Funktion vorliegen.

Und beantworte doch einfach die Frage, die tigerbine dir vorgegeben hat, damit solltest du a berechnen können.

13.06.2010, 13:01

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin jetzt mal mit probieren auf a=1 gekommen.
Gibt es da auch eine rechnerische Variante?
Danke noch mal an euch

13.06.2010, 13:03

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich gibt es einen Rechenweg. Es wäre schön, wenn du mal erklärst, was du an meiner Anleitung nicht verstehst, da du sie ja nicht befolgen willst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

13.06.2010, 13:12

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube das hat bei mir nicht mit "nicht willst" zu tun,sondern eher keine Ahnung zu tun smile

smile

also ich habe denke ich mal schon nach deiner Anleitung getan aber das ist halt in meinen Augen probieren wenn ich mich vom rechten GW annähre durch stupides einsetzen. Und da sieht man dann halt das sich der Wert an 0 angrenzt.

13.06.2010, 13:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das was du als stupides ausprobieren bezeichnest ist die Anwendung der Stetigkeit über die Grenzwertdefinition.

http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#...ller_Funktionen

Ich sehe hier leider nicht, dass du
[quote[also ich habe denke ich mal schon nach deiner Anleitung getan [/quote]

das getan hast. Ich möchte dich nun auch nicht in jedem Beitrag darum bitten müssen. Wir wollen hier doch voran kommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.06.2010, 13:23

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry erst einmal für meinen nicht ganz richtigen gramatikalischen Satz Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ok also wäre mein Ergebnis auch richtig?

Also wenn ich den rechten GW =0 raus bekommen muss der linke auch gleich 0 sein um eine stetige Funktion zu bekommen.
Muss ich das dann für a auch durch einsetzen rausbekommen. Aber das stell ich mir schwierig vor bei einer komplizierten fkt.

13.06.2010, 13:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich wohl klar ausgedrückt, dass ich hier nun Taten sehen will und keine Worte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der rechtsseitige Grenzwert ist billig. Warum? Weil der ln dort stetig ist und man also einfach einsetzen darf. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow \pi} f(x) = f(\pi), = 0 \end{eqnarray*}$

Es ist also a so zu finden, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow \pi} f(x) =0 \end{eqnarray*}$

Und bei der Sinusfunktion ist das noch "billig". Man kennt deren Nullstellen doch sehr genau. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bevor nun der Einwand kommt, du hättest eben nicht sin(x), naja, irgendwas muss es ja auch noch an Übertragungsleitstung in der Aufgabe geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

So, nun müsstest du das aber hinbekommen.

14.06.2010, 17:20

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann ist a = alle Elemente der ganzrationalen Zahlen
bzw: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n sin(ax-\pi ) \end{eqnarray*}$
Aber wir schreibt man den Lösungsweg auf in Prüfungen, weil ich komme da immer drauf durch wildes ausprobieren smile

smile

Weil es ja heißt man möchte hier nur Taten als Worte sehen habe ich gleich noch ne 2 gerechnet smile

smile

$\begin{eqnarray*} f(x) \begin{cases} 2x^{2}-1 & -\infty < x \leq 1 \\ e^{4x-a^{2} } & 1<x<+\infty \end{cases}<br /> x_{0} =1<br /> \end{eqnarray*}$

Schritte:
-setze Xo in den linken GW ein --> bekommen 1 raus
-Vorraussetzung für eine stetige Fkt ist das der rechte Gw = 1 ist
also $\begin{eqnarray*} 4x-a^{2} =0 \end{eqnarray*}$
a= -2 oder 2 eine stetige funktion

Ich hoffe das ist richtig, wenn es nicht der FAll sein sollte würde ich mich auf eine Erklärung freuen
Danke
mfg

14.06.2010, 17:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

cases bitte schon richtig benutzen.

Zitat:

Also dann ist a = alle Elemente der ganzrationalen Zahlen
bzw: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{a=1}^n sin(ax-\pi ) \end{eqnarray*}$

Was soll das sein? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow \pi} f(x) =0 \end{eqnarray*}$

Das gilt es zu unsteruchen. Genauer

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow \pi} \sin(ax-\pi) =0 \end{eqnarray*}$

Nun ist der Sinus doch stetig. Dann lautet die Aufgabe im Grunde finde a derart, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \sin(a \pi-\pi) =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin((a-1)\pi) =0 \end{eqnarray*}$

Nun kennt man die Urbilder der 0 beim Sinus.

Das sind die ganzzahligen Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Somit muss $\begin{eqnarray*} (a-1) \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gelten und damit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Das meinte ich mit Taten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.06.2010, 17:59

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Das nenne ich mal sehr schön Dargestellt "respekt"

aber meine Aussage war doch richtig das für a = alle Elemente der ganzen Zahlen zutreffen?

Meine 2 Aufgabe wäre die richtig?

Danke tigerbine für die anschauliche Darstellung

14.06.2010, 18:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Richtig, aber ohne Begründung == keine Punkte.

2. mit dem bzw. bekam man auch Zweifel, ob 1. überhaupt richtig gemeint war.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Andere Aufgabe. Du solltest das ordentlicher aufschreiben. Auch muss begründet werden, warum du plötlich nur den Exponenten betrachtest (-> Eigenschaft .... der E-Funktion')

14.06.2010, 18:33

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{x (linke GW) \to 1} f(x)= 2x^{2} -1 , f(1) = 2*1^{2} -1 =1 <br /> \lim_{x (linke GW) \to 1} = \lim_{x (rechte GW) \to 1} =1<br /> Vorraussetzung:<br /> f(1)= e^{4x-a^2} =1<br /> 4*1-a^2lne=ln1<br /> 4-a^2=0<br /> 4=a^2<br /> a1= 2<br /> a2=-2<br /> a1, a2 ergeben eine stetige Fkt<br /> \end{eqnarray*}$

Wäre das eine Darstellungart wo man Punkte drauf bekommen würde?

14.06.2010, 18:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn du den Grenzwert betrachtet und dann = schreibst, darf da kein x mehr drin stehen.

Zitiere mich um zu sehen, wie man rechtGW korrekt schreibt.

beim ln darf man auch klammern setzen.

warum wird f(1) = was mit x geschrieben

15.06.2010, 20:55

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok verstehe dann müsste der rechte GW lauten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{+\infty \to 1} =1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

15.06.2010, 21:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

nein. was soll das sein? lim von was? und was wo gegen?

15.06.2010, 21:45

greg3d

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt ein wenig verwirrt
ist das richtig?
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \to 1}f(x) =1<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

15.06.2010, 22:27

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum verwirrt. du musst es nur endlich mal korrekt hinschreiben. Es ist ja nicht so, dass man es dir noch nicht vorgemacht hätte (vo rallem was die Formulierungen mit lim betrifft) unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(x) :=\begin{cases} 2x^{2}-1 & -\infty < x \leq 1 \\ e^{4x-a^{2} } & 1<x<+\infty \end{cases} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1}f(x) = f(1) = 2\cdot 1^2-1 = 1 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist bei x=1 genau dann stetig, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 1}f(x) =1 \end{eqnarray*}$

So, ist die rechte Funktion denn stetig? Kann man dann den Grenzwert ggf. vereinfacht hinschreiben, um a zu bestimmen. usw. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »