Dreifache Summe

13.06.2010, 10:34

Frank!

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Dreifache Summe

Meine Frage:
Hallo!
Ich stehe vor einem großen Problem:
Ich soll folgenden Ausdruck so darstellen, dass alle Exponenten, d.h das x mit dem größten Exponenten zuerst, also $\begin{eqnarray*} x^{n^{3}} \end{eqnarray*}$ zuerst und dann in absteigender Reihenfolge. Hier ist dieser abschreckende Ausdruck:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} * \left(\sum\limits_{j=1}^n a_{j}* \left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i}* x^{i} \right)^{j} \right) ^{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bis jetzt weiß ich noch gar nicht wie das geht, man könnte vielleicht ganz oft den binomischen Lehrsatz anwenden, außerdem kenne ich den größten Exponenten...
Für Hilfe wäre ich dankbar

13.06.2010, 10:42

kurellajunior

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Wie wäre es, wenn Du erstmal die Summenformel jeweils auflöst und dann anfängst die Klammern aufzulösen?

Oder weißt Du nicht wie Du $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ auflöst?

edit: das hier ist auch Unsinn!

13.06.2010, 10:51

Frank!

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Wie soll ich denn das auflösen? $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ kann ein beliebiger Koeffizient sein, falls das bei meiner Fragestellung nicht genau herauskam. Ich kann doch keine Summe von beliebigen Koeffizienten auflösen!?

13.06.2010, 11:00

kurellajunior

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edit: ignorier das, was ich eben geschrieben habe, ich habe mich verguckt!
Erst Kaffee trinken, dann Mathe denken... sorry.

Das übersteigt definitiv meine Fähigkeiten. Hier muss Dir jemand anders helfen.

13.06.2010, 12:18

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Das ganze sieht im ersten Moment nach exzessiver Strafarbeit mit Multinomialtheorem aus. Mit Polynom

$\begin{eqnarray*} p(t) := \sum_{k=1}^n a_k t^k \end{eqnarray*}$ ,

kann man den fraglichen Ausdruck zwar als $\begin{eqnarray*} p(p(p(x))) \end{eqnarray*}$ schreiben, ich kann aber nicht erkennen, dass dies irgendwie die Arbeit erleichtert. verwirrt

verwirrt

13.06.2010, 16:05

Frank!

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Hallo, danke für die Antworten. Ich habe gesehen, dass mir vorhin ein kleiner Fehler unterlaufen ist: die Indizes sollen von 0 bis n laufen nicht von 1 bis n. Ich habe mir gerade überlegt, ob es vielleicht einfacherer wäre, zuerst die innere Summe versuchen aufzulösen und dann die äußere. Wenn man nur zwei Summen betrachtet, dann könnte man das Problem so angehen: Man könnte zuerst die Summe in zwei Teile aufteilen nämlich in $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ und den Rest. Darauf könnte man den Binomischen Lehrsatz anwenden:
$\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{i=0}^n a_{i}*x^{i} \right)^{j}=\sum\limits_{l=0}^j \left(\begin{pmatrix} n \\ l \end{pmatrix} *a_{0}^j*\left(\sum\limits_{i=1}^n a_{i}*x^{i} \right)^{j-l} \right) \end{eqnarray*}$
so könnte man bei zwei Summen schrittweise die Koeffizienten bestimmen, ich denke das ginge auch für den x-Koeffizient also für irgend einen...
Für drei Summen ineinander sehe ich allerdings relativ schwarz.

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14.06.2010, 14:02

kurellajunior

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Zitat:

Original von Frank!
[...]
so könnte man bei zwei Summen schrittweise die Koeffizienten bestimmen, ich denke das ginge auch für den x-Koeffizient also für irgend einen...
Für drei Summen ineinander sehe ich allerdings relativ schwarz.

Ich denke, genau das meinte Arthur mit exzessiver Strafarbeit...

Deine Aufgabenstellung ist etwas verworren. Kannst Du bitte nochmal die Aufgabenstellung verifizieren und so genau wie möglich abschreiben?

14.06.2010, 20:11

Frank!

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Naja, es sieht zwar ziemlich aussichtsslos aus, aber hier noch einmal die genaue Aufgabenstellung:
Ordne die Exponenten im Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{k}*\left(\sum\limits_{j=0}^n a_{j}*\left(\sum\limits_{i=0}^n a_{i}*x^{i}\right)^{j} \right)^{k} \end{eqnarray*}$ so, dass der größte Exponent zuerst, dann der zweitgrößte usw. Wie lauten dann die Koeffizienten der verschiedenen Exponenten? Mit anderen Worten: Wie kann man diesen Ausdruck umformen, so dass er in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann? Wie hängen dann $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ zusammen?
Ich hoffe, dass jetzt die Augabenstellung klar ist.

15.06.2010, 10:05

kurellajunior

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Also ich hab das aus Spaß mal mit n=2 auf dem Papier und nur für 2 Summen probiert.
Ich komme da auf keinen grünen Zweig und stelle fest, dass es tatsächlich gräulich ist.

Solltest Du vom Aufgabensteller einen sinnvollen Lösungsweg bekommen, poste ihn hier doch bitte.

Jan

15.06.2010, 10:36

Mystic

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Zitat:

Original von Frank!
Mit anderen Worten: Wie kann man diesen Ausdruck umformen, so dass er in der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann?

Anwort: I.allg. gar nicht, da ja die größte vorkommende Potenz $\begin{eqnarray*} x^{3n} \end{eqnarray*}$ sein sollte und nicht $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ... (Oder hast du dich - wieder einmal - mit den Summationsindizes vertan? verwirrt

verwirrt

)

Zitat:

Original von Frank!
Wie hängen dann $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ zusammen?

Auch diese Frage verstehe ich nicht, da ja die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ nicht nur von den $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ , sondern auch von den anderen $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ abhängen...

Diese Aufgabe ist also auch nach meiner Meinung sowas von sinnlos, dass man ehesten an einen schlechten Scherz glauben möchte... geschockt

geschockt

15.06.2010, 10:51

Frank!

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Ein Fehler ist mir unterlaufen es heißt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n^{3}} b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$ jedoch ist der größte Exponent $\begin{eqnarray*} x^{n^{3}} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ist natürlich mit $\begin{eqnarray*} a_{j} \end{eqnarray*}$ bei i=j identisch. Man kann auch dreimal den Index i verwenden, jedoch fand ich es so klarer.

15.06.2010, 11:07

Mystic

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Zitat:

Original von Frank!
Ein Fehler ist mir unterlaufen es heißt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n^{3}} b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$ jedoch ist der größte Exponent $\begin{eqnarray*} x^{n^{3}} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ist natürlich mit $\begin{eqnarray*} a_{j} \end{eqnarray*}$ bei i=j identisch. Man kann auch dreimal den Index i verwenden, jedoch fand ich es so klarer.

Hier dreimal denselben Index i zu verwenden, wäre wohl ein schwerer mathematischer Fauxpas... Und nein, ich meinte nicht den Index j von deiner zweiten Summation, sondern dass $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ für festes i normalerweise eine Funktion von allen $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ ist, und nicht nur genau von dem $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ mit genau dem gleichen Index i...

Ich muss gestehen, langsam kommen mir diese vielen Fehler und Ungenauigkeiten (alle auf einem sehr elementaren Niveau) doch etwas "verdächtig" vor...Sind am Ende gar Threadersteller und Aufgabensteller ident? verwirrt

verwirrt

15.06.2010, 11:08

kurellajunior

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Also wenn, dann bitte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{3n} b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ist natürlich mit $\begin{eqnarray*} a_{j} \end{eqnarray*}$

Das wär zu einfach...

Die Frage wäre die Zuordnung $\begin{eqnarray*} b_i\mapsto a_j^ca_k^da_l^e \end{eqnarray*}$ wobei j, k, l, c, d und e Funktionen von i sind
edit: zu langsam smile

smile

und Englishteufel weggemacht

17.06.2010, 11:14

Frank!

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Mystic hat nicht ganz Unrecht mit seiner Vermutung die Aufgabe wäre von mir. Ursprünglich hieß die Aufgabe einmal so(die ist nicht von mir): Suche alle Polynome p, die ganzzahlige nichtnegative Koeffizienten haben und für die es ein anderes Polynom q auch mit ganzzahlig nicht negativen Koeffizienten gibt für das für alle ganzzahlig nichtnegativen x gilt: q(q(q(x)))=p(x).
So bin dann auf diese Frage gekommen.
Zuerst wollte ich das Problem auf algebraischem Wege lösen, doch das ist schwierig, wie sich ja jetzt herausgestellt hat. Deshalb wäre ich über andere Ideen und Ansätze dankbar.
@kurellajunior:
Du hast die Zuordung zwar anscheinend gefunden, aber welche Funktionen sind das von i?

17.06.2010, 12:17

kurellajunior

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nö, habe ich nicht. Ist lediglich eine theoretische Überlegung, wie sich die Koeffizienten für ein $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ allgemein zusammensetzen.

17.06.2010, 17:45

Frank!

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Wenn man so nicht weiterkommt, hat jemand eine Idee wie man q(x) aus p(x) berechnet (sofern es existiert)?

17.06.2010, 18:57

gonnabphd

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Zitat:

Also wenn, dann bitte $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{3n} b_{i}*x^{i} \end{eqnarray*}$

Das Polynom hat schlussendlich (im Allgemeinen) $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ Koeffizienten, wie man einfach sieht:

$\begin{eqnarray*} q(x) := x^n \quad \Longrightarrow q(q(q(x))) = \left( \left(x^n \right)^n \right)^n = x^{n^3} \end{eqnarray*}$

Hmm, die Aufgabe scheint recht schwer zu sein.

1.) Woher kommt die? Ist sie eine Teilaufgabe (oder anders gefragt: kennst du Fakten, die bei der Lösung helfen könnten)?

2.) Ein paar Bedingungen, die ein solches Polynom sicher efüllen muss, sind:

$\begin{eqnarray*} n = m^3 \quad m \in \mathbb{N}, \quad a_n = b^{m^2} \text{ für ein $b \in \mathbb{N}$}. \end{eqnarray*}$

(da ich bei einer solchen Suche nach (hinreichenden) Bedingungen nicht viel Erfolgsaussichten sah, habe ich auch schnell wieder aufgehört...)

Vielleicht könnte man sich überlegen, ob die Menge aller solchen Polynome eine gewisse Struktur trägt (z.B. ein Ring? Gibt es einen Isomorphismus o.ä.?)

18.06.2010, 12:15

Frank!

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Hallo, danke für die Hilfe. Dank Maple habe ich gerade folgendes gemerkt:
wenn man eine Polynomdivision durchführt dann geht das für $\begin{eqnarray*} \frac{p(x)-a_{0}}{q(q(x)} \end{eqnarray*}$ Wenn man das n-2 mal macht und bei der i-1 Iteration $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ nimmt, dann kommt dabei q(q(x)) heraus. Das kann man auch mit q(q(x)) machen.

19.06.2010, 19:44

Frank!

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Hallo, bitte helft mir! Inzwischen habe ich noch folgendes Interessantes herausgefunden. Der Koeffizient $\begin{eqnarray*} b_{m} \end{eqnarray*}$ von p(x) hängt nur von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ab, wobei $\begin{eqnarray*} m=n^{3} \end{eqnarray*}$ . So kann man $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Genauso hängt $\begin{eqnarray*} b_{m-1} \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , der ja schon bekannt ist und $\begin{eqnarray*} a_{n-1} \end{eqnarray*}$ ab. Auf diese Weise kann man auch diesen ausrechnen. Das Problem ist jetzt nur noch herauszufinden wie $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ von den Koeffizienten von q(x) abhängt. Dazu bräuchte man aber wieder diese verflixte Dreifache Summe, deren Term ich ja am Anfang schon gezeigt habe. Könnte man für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} b_{i} \end{eqnarray*}$ die Zuordung finden, so wäre das Problem gelöst. Bitte, ich brauche Hilfe!!!

19.06.2010, 19:53

gonnabphd

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Wenn hier jemand eine Lösung sehen würde, bin ich mir sicher, wäre dir das mitgeteilt worden.

Ich frage nocheinmal:
Woher hast du denn diese Aufgabe?

20.06.2010, 11:05

Frank!

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Die Aufgabe stammt von einem (Mathematk-Freak-) Freund. Er meinte, sie wäre eigentlich ziemlich einfach, aber irgendwie finde ich sie ganz und gar nicht einfach!
Ich habe mir gerade überlegt, dass man mit Multinomialsatz irgendwas machen könnte, um zumindest diese hässlichen Exponenten der Summen zu entfernen...

20.06.2010, 12:18

AD

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Du bist aber hartnäckig bei dieser Sch...aufgabe - in meinen Augen Zeitverschwendung.

Aber es ist Sonntag, verschwenden wir also etwas Zeit und schreiben die grotesk umständlichen Terme auf: Es ist

$\begin{eqnarray*} p\left( \sum_{j=0}^m b_j x^j \right) = \sum_{k=0}^n a_k \left( \sum_{j=0}^m b_j x^j \right)^k = \sum_{k=0}^n a_k \sum_{i=0}^{mk} ~ \sum\limits_{\substack{(j_1,\ldots,j_k) \in \{0,\ldots,m\}^k\\j_1+\cdots+j_k=i}} ~ \prod_{l=1}^k b_{j_l} x^i = \sum_{i=0}^{mn} \left[ \sum_{k=0}^n a_k ~ \sum\limits_{\substack{(j_1,\ldots,j_k) \in \{0,\ldots,m\}^k\\j_1+\cdots+j_k=i}} ~ \prod_{l=1}^k b_{j_l} \right] x^i \end{eqnarray*}$

Das ganze macht man nun zweimal, d.h. man startet mit $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_j=a_j \end{eqnarray*}$ und erhält so für $\begin{eqnarray*} p(p(x)) \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} \tilde{a}_i := \sum_{k=0}^n a_k ~ \sum\limits_{\substack{(j_1,\ldots,j_k) \in \{0,\ldots,n\}^k\\j_1+\cdots+j_k=i}} ~ \prod_{l=1}^k a_{j_l} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,\ldots,n^2 \end{eqnarray*}$

und im zweiten iterierten Schritt mit $\begin{eqnarray*} m=n^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_j=\tilde{a}_j \end{eqnarray*}$ dann die gesuchten Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} p(p(p(x))) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_k ~ \sum\limits_{\substack{(j_1,\ldots,j_k) \in \{0,\ldots,n^2\}^k\\j_1+\cdots+j_k=i}} ~ \prod_{l=1}^k \tilde{a}_{j_l} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=0,\ldots,n^3 \end{eqnarray*}$ .

Wer unbedingt will, kann das auch noch in eine Formel gießen - aber ohne mich.

20.06.2010, 12:44

gonnabphd

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Zitat:

Die Aufgabe stammt von einem (Mathematk-Freak-) Freund.

War ja klar... Big Laugh

Big Laugh

Schreib' die Lösung deines Freundes dann bitte hier rein, denn eine einfache Lösung sehe ich weit und breit nicht. (Und ich würde meine Zeit auch nicht weiter mit der Aufgabe verschwenden, denn tiefere Einsichten scheint sie ja nicht zu versprechen...)

20.06.2010, 16:49

Frank!

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So langsam bin ich mir auch nicht mehr sicher, ob mein Freund die Lösung wirklich hat. Aber ich vermute immer noch, dass es irgendwie eine einfache Lösung gibt. Vielleicht über Taylorreihen, hatte ich gerade noch die Idee.

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