diagonalisierbar

13.06.2010, 11:06

Claudia105

Gram'sche Matrix / invariant --> diagonalisierbar

Hallo!

Ich brauche für 2 LA Aufgaben eure Hilfe.

Die Aufgaben habe ich euch eingesannt. Wenn ihr auf die Datei klingt, bekommt ihr die größere, lesbare Version.
[attach]15153[/attach]

Bei Aufgabe 1 würde ich gerne selber rechnen, allerdings ist mir nicht bewusst, was ich eigentlich machen soll bzw wie. Vielleicht kann mich jemand in die richtige Richtung schubsen?

Bei Aufgabe 2 wollte ich anhand der Definitionen die Folgerungen zeigen, aber das hat auch nicht geklappt.

Ich wäre euch für Tipps oder Lösungsansätze sehr dankbar.

VG
Claudia

13.06.2010, 15:50

Claudia105

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PS: Zur zweiten Aufgabe habe ich jetzt etwas.

Aber bei Aufgabe 1 blicke ich immer noch nicht durch.

ist esd bei a ein Unterschied, ob beta pos. def. ist oder die Matrix? Denn Matrix könnte ich ja über die einzelnen Determinaten berechnen. Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich das mit G(x,y) machen kann oder ob ich da erst noch etwas dran multiplizieren muss.

Und noch ein Hinweis zu d: A2 war der "Satz von Sylvester".

13.06.2010, 16:35

Reksilat

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Hi Claudia,

Nein, es ist kein Unterschied. Die BLF ist genau dann positiv definit, wenn es auch die Matrix ist. Der Begriff der Definitheit hängt nämlich nicht von einer konkreten Basis ab.
Du kannst also direkt die Matrix untersuchen.

Bei d) kann ich Dir leider nicht helfen, da ich keine Ahnung habe, was r, s und t hier sind. verwirrt

Gruß,
Reksilat.

13.06.2010, 16:59

Claudia105

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klasse, danke Reksilat , dann kann ich (a) ja schon mal machen smile

kannst du (oder jemand anderes) mir sagen, was ich bei (b) machen soll? Senkrecht bedeutet ja eigentlich <v|v> = 0, aber ich versteh nicht, wie ich das hier anwenden kann?

zu d.) r, s und t sind wie folgt definiert:

r ist die Anzahl der v aus B mit <v|v> >0
s ist die Anzahl der v aus B mit <v|v> < 0
t ist die Anzahl der v aus B mit <v|v> = 0
wobei B eine Orthogonalbasis von (V;beta) ist.

Aber ich kann damit trotzdem nichts anfangen.

Ich glaube, ich verstehe generell den Zusammenhang gar nicht von den <.|.> und G(x,y).

Bin immer noch für jeden Tipp dankbar smile

13.06.2010, 17:07

Reksilat

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Einer Bilinearform kann bezüglich einer Basis immer eine Matrix zugeordnet werden. In diesem Fall kannst Du, da die Matrix bzgl. der Standardbasis gegeben ist, die Bilinearform direkt so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \langle v|w\rangle=v^TGw \end{eqnarray*}$

Zum Beispiel ist:
$\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\end{pmatrix}|\begin{pmatrix}2\\0\\4\\0\end{pmatrix}\rangle =\begin{pmatrix}3&2&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&x&0&0\\0&0&y&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\4y\\4\end{pmatrix}=6+4y \end{eqnarray*}$

Edit: Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Gramsche_Matrix

Gruß,
Reksilat.

13.06.2010, 17:27

Claudia105

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Aber ich habe ja kein v und w gegeben. Ich weiß nicht, was ich so abstrakt damit anfangen soll.

Das multiplizieren an sich ist kein Problem, dass habe ich verstanden und kann ich auf anwenden, aber bezogen auf meine Aufgabe kann ich damit leider nichts anfangen unglücklich