Taylorpolynom

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13.06.2010, 14:14	Oman	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen in der Überschrift. Dies wird entfernt. Servus Leute! Hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Für die Funktion f(x)=\sqrt{1+x} soll das Taylorpolynom dritten Grades im ENtwicklungspunkt 0bestimmt werden. Zudem festellen, wie der Fehler von T³(x) zum exakten Wert f(x) für x Element ]-1/10,1/10[ höchsten ist. Ist T³ in diesem Bereich >=<= als f(x)? Hab zuerst die Ableitungen berechnet: $\begin{eqnarray} <br /> f'(x)=\frac{1}{(1+x)^{\frac{1}{2} } } <br /> f''(x)=\frac{-1}{4(x+1)^{\frac{3}{2} } }<br /> f'''(x)=\frac{3}{ 8(x+1)^{\frac{5}{2} } } <br /> f^{'v}(x)=\frac{-15}{16(x+1)^{\frac{7}{2} } } <br /> \end{eqnarray}$ Somit Polynom $\begin{eqnarray} T^{3} _{0} =1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}+\frac{3x^3}{8} \end{eqnarray}$ . Oder? Bei dem Rest der Aufgabe weiß ich nicht so recht? Wollte eigentlich von den Intervallgrenzen einfach den Fehler abziehen......
13.06.2010, 15:01	Definitionsluecke1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!} (x - x_{0})^{n+1}, mit\ \zeta := x_{0} - \upsilon(x - x_{0}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \upsilon = \begin{cases} \rightarrow 0 \\ \rightarrow 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Jenachdem, ob du den Fehler größtmöglichst oder kleinstmöglichst betrachten willst, lässt du Üpsilon gegen 0 oder 1 gehen. Dein x hast du ja schon gegeben und musst dieses nur noch ausrechnen.
13.06.2010, 16:27	Oman	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort.Leider verstehe ich das nicht. Vor allem das mit Epsilon.
13.06.2010, 16:30	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Was zunächst mal viel wichtiger ist: Deine Ableitungen stimmen nicht. Edit: Ach, du hast dich nur vertippt, glaube ich. Ist schon in Ordnung so, bei der 1. Ableitung fehlt nur eine 2.
13.06.2010, 16:36	Oman	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, sorry. Bei der ersten müsste im Nenner noch eine 2 stehen. Aber sonst sind sie doch okay?
13.06.2010, 16:39	Oman	Auf diesen Beitrag antworten »
Das REstglied sieht doch dann so aus $\begin{eqnarray} R^{4}_{0}= \frac{-15}{384}(\psi+1)^{\frac{-7}{2} } (x)^4,<br /> \psi\in ]0,x[ \end{eqnarray}$ . Wie mach ich dann die Fehlerabschätzung?
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13.06.2010, 17:23	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, $\begin{eqnarray} R_{3}(x) = \frac{f^{(IV)}(\zeta)}{4!}x^4= \frac{\frac{-15}{16(-\upsilon(x) + 1)^{\frac{7}{2}}}}{24} x^4 = \frac{-15}{384(-\upsilon(x) + 1)^\frac{7}{2}}x^4 \end{eqnarray}$ Da der Fehler größtmöglichst sein soll, lassen wir Üpsilon gegen 0 gehen. Also bleibt nur noch $\begin{eqnarray} R_{3}(x) = \frac{-15}{384}x^4 \end{eqnarray}$
13.06.2010, 17:50	Oman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat die Aufstellung für Epsilon Allgemeingültigkeit? was wäre wenn der Entwichlungspunktz.b 2 ist. wie siehts dann da aus?
13.06.2010, 18:42	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sich das ganze zusammensetzt habe ich dir im Beitrag #2 geschrieben. Für deinen Fall habe ich schon alles eingesetzt gehabt. Da du dein x gegeben hast, musst du nun nur noch einsetzen und vergleichen. Für $\begin{eqnarray} x_{0} = 2 \end{eqnarray}$ sähe das ganze so aus: $\begin{eqnarray} R_{3}(x) = \frac{f^{IV}(\zeta)}{4!}(x - 2)^4 \text{ mit } \zeta = 2 - \upsilon (x - 2) \end{eqnarray}$
13.06.2010, 21:46	johnfk	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie bekommt man nun das maximum im intervall -0,1 ; 0,1 heraus? Muss ich dann das Maximum, oder die Nullstellen der restgliedgleichung bestimmen? Da sieht man aber, dass die restgliedgleichung wischen -0,1 und 0,1 überall 0 ist.
13.06.2010, 23:29	howdy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Betrachtung nach dem Maximum oder Minimum entscheidest du schon mit der Wahl von Üpsilon. Da dies im Nenner ist, ist natürlich sinnvoll den Nenner möglichst klein werden zu lassen, um den maximalen Fehler zu betrachten. Nun sollst du bestimmen, wie der Fehler maximal ist. Das heißt, nun die Werte an den Intervallgrenzen für x einzusetzen. $\begin{eqnarray} R_{3}(10^{-1}) = ... ? \end{eqnarray}$ Da wir hier ein Polynom vom Grad 4 betrachten, ist es nun unerheblich, ob -10^-1 oder 10^-1. Nun ist zu entscheiden, ob $\begin{eqnarray} \|R_{3}(10^{-1})\| \leq f(10^{-1}) \end{eqnarray}$ .

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