|x| auf R^n stetig?

13.06.2010, 14:16

StefanX

|x| auf R^n stetig?

Hallo Leute!

Wie kann ich zeigen, dass:

f(x) = |x| auf R^n

stetig ist? Gibt mir bitte ein paar Tipps, ich weiß überhaupt nicht weiter!

Gruß
StefanX

13.06.2010, 14:21

Mazze

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Tip #1 : Es heisst "gebt" mir bitte ein paar Tips nicht "gibt".

Zur Aufgabe :

Willst Du zeigen das allgemein eine Norm auf R^n stetig ist oder willst Du die Stetigkeit einer speziellen Norm zeigen?

13.06.2010, 14:30

StefanX

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sry

Okay, also f(x) ist ja eine Funktion. Unter dem x müsste noch ein Strich sein, sodass x ist Vektor ist. Ich denke bei |x| ja an die Funktion, welche ich im R² vor Augen habe.
Was hat das mit einer Norm zu tun und wie kann ich mir eine Norm überhaupt vorstellen? Hammer

13.06.2010, 14:32

Mazze

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Naja, wenn Du nicht weisst was eine Norm ist, wird Dir auch nicht die Aufgabe gestellt die Stetigkeit der Norm zu zeigen.

Ich nehme an Du meinst :

$\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \end{eqnarray*}$ (die euklidische Norm)

?

13.06.2010, 14:41

StefanX

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Bisher haben wir "Norm" bereits abgehandelt, aber was kann man sich denn unter einer Norm vorstellen?
Wir hatten bei bei Matrizen mal die Zeilensummennorm, das war dann immer die größte Summe der Zeilen einer Matrix, also als Zahl dann eingesetzt..

Und was hat der Betrag von |x| mit einer Norm zu tun und wofür benötigt man so eine Norm konkret. Habe bereits bei wiki gelesen, jedoch kann ich mir immernoch nichts darunter vorstellen :/

Kann gut sein, dass der Aufgabensteller diese meint^^

13.06.2010, 15:40

Zwerg Nase

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Der Beweis zur Aufgabe würde mich auch interessieren.

Die Funktion an sich ist ja ganz simpel, auch wenn man sie auf R^n in den Raum erweitert, sie läuft immer im Nullpunkt zusammen.
Wäre es nicht möglich das über Grenzwerte zu zeigen?

13.06.2010, 16:32

GastMathematiker

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Das ist wirklich ziemlich simpel mit Epsilon-Delta-Kriterium.

Ihr wählt $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$ und wendet die Dreiecksungleichung an.

13.06.2010, 16:54

Mazze

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Zitat:

Und was hat der Betrag von |x| mit einer Norm zu tun

Der Betrag ist eine Norm. Aber ich weiss immernoch nicht was Ihr jetzt genau zeigen sollt.

13.06.2010, 17:02

Zwerg Nase

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Ich denke die Stetigkeit von der Funktion |x| im Raum 1, 2, 3, ..

13.06.2010, 17:50

Zwerg Nase

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Wenn man es mit der Dreiecksungleichung zeigen will wie der Herr GastMathematiker darauf hingewiesen hat, sprich:

$\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} ||x|-|x_{0}||<\epsilon \end{eqnarray*}$

Wenn man nun mit der Dreiecksungleichung arbeiten will ergibt sich ja erstmal:

$\begin{eqnarray*} ||x|+|x_{0}|| \leq ||x||+||x_{0}|| \end{eqnarray*}$

und ab hier wird das für mich zum Strichcode.

Wie genau kann man hier weiterformen?

13.06.2010, 18:13

system-agent

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Siehe die Form der Dreiecksungleichung die hier gezeigt wird [ganz unten im Abschnitt].

13.06.2010, 18:28

Zwerg Nase

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Also die umgekehrte Dreiecksungleichung ... das hab ich am Anfang auch erst überlegt.

Ich schau gleich mal ob ich damit weiterkomme, danke erstmal für den Fortschritt.

13.06.2010, 23:48

system-agent

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Die Stetigkeit einer Norm in ebendieser Norm ist eben ein bischen subtil. Tatsächlich braucht man nur die Normeigenschaften und daher ist jede Norm, mit sich selbst gemessen, stetig.

13.06.2010, 23:57

Zwerg Nase

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Soll also heißen, dass man da nicht groß rumhantieren muss bzw. braucht, weil es für sich selbst steht?

14.06.2010, 00:00

system-agent

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Soll heissen dass es mit der Normeigenschaft und der daraus gezeigten "umgedrehten Dreiecksungleichung" fast offensichtlich ist.
Aber natürlich schadet es nicht es nocheinmal sauber aufzuschreiben Augenzwinkern

14.06.2010, 00:05

Zwerg Nase

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Um jetzt nix durcheinander zu schmeißen, welche Normeigenschaft ist hier gemeint?
Die euklidische Norm oder die Norm der Dreiecksungleichung?

Edit:
Ich merk grade ... kann es sein, dass meine Aussage nicht durchdacht war ... Hammer

14.06.2010, 00:31

GastMathematiker

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Ob die Norm euklidisch, also von einem Skalarprodukt induziert ist, ist egal.

Ist $\begin{eqnarray*} (V,||*||) \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum, so ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f:V\rightarrow \mathbb{R},x\mapsto||x|| \end{eqnarray*}$ stetig.

Sei dazu $\begin{eqnarray*} x_0\in V \end{eqnarray*}$ und wähle dazu $\begin{eqnarray*} \delta=\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x\in U_{\delta}(x_0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x_0)-f(x)|\leq||x_0-x||<\epsilon \end{eqnarray*}$ , hier verwendet man nur die umgekehrte Dreiecksungleichung, die aber sofort aus der Dreiecksungleichung folgt (die ja definitionsgemäß erfüllt wird.

Man muss nur aufpassen bei verschiedenen Normen, ist $\begin{eqnarray*} (V,||*||_1) \end{eqnarray*}$ ein normierter Raum und $\begin{eqnarray*} ||*||_2 \end{eqnarray*}$ eine andere Norm auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f:x\mapsto||x||_2 \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen nicht stetig. (In endlichdimensionalen Räumen schon, da hier alle Normen äquivalent sind.

14.06.2010, 00:34

Zwerg Nase

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Jetzt hab ich ein klares Bild und tatsächlich ist es kaum einer Aufgabenstellung wert aber erfüllt trotzdem einen Zweck.

Besten Dank für den zusätzlich unaufgeforderten Nachtrag.
Ich kann nur sagen .. das System funktioniert.

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