Stetigkeit einer Funktion f(x,y)

13.06.2010, 15:43

Ellorrrrr

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Stetigkeit einer Funktion f(x,y)

Meine Frage:
Die Frage befindet sich im Anhang

Meine Ideen:
Und zwar habe ich eine Verständnis Frage zu folgender Aufgabe ( siehe Anhang)

bei a) Verstehe ich nicht, wie man bzw. was man mit der Funktion f1 macht. Bei f2 habe ich geschaut was passiert wenn y=0 und x=t ist und den limes von t dann gegen 0 laufen lassen und rausgekriegt das f2(t,0)=0 und das selbe mit y = t.

Bei x=0 und y=0 ist die Funktion nicht definiert da sin(1/0).

bei b) habe ich das selbe Problem mit f1

Ich weiß nicht wie ich jeweils mit der Funktion f1 umgehen soll

Danke für eure Hilfe

edit: Kann es sein das mit f1 der Definitionsbereich gemeint ist ?

lg

13.06.2010, 17:34

system-agent

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Für mich klingt das alles ziemlich verworren.
Nun du hast also eine Funktion $\begin{eqnarray*} f_1: \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und ich denke mal dass diese definiert sein soll durch
$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) \end{eqnarray*}$ .

Was passiert denn mit $\begin{eqnarray*} (x^2+y^2)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to(0,0) \end{eqnarray*}$ ?
Dann nutze die Beschränktheit vom Sinus.

13.06.2010, 17:54

Ellorrrrr

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hm die beschränkheit von sinus ist doch < 1 oder ? das die Funktion stetig ist habe ich schon rausgefunden, aber verstehe nicht so richtig die aufgabe, was genau f1(0/0) ist.

wenn ich x bzw. y gegen 0 laufen lasse wird die funktion auch 0, falls ich alles richtig gemacht habe

Die Aufgabe verwirrt mich

13.06.2010, 18:02

system-agent

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Zitat:

Original von Ellorrrrr
hm die beschränkheit von sinus ist doch < 1 oder ?

So in etwa. Der Sinus ist tatsächlich durch 1 beschränkt, das heisst $\begin{eqnarray*} |\sin(x)|\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet dass dein zweiter Term keine Schwierigkeiten macht.

Zitat:

Original von Ellorrrrr
das die Funktion stetig ist habe ich schon rausgefunden, aber verstehe nicht so richtig die aufgabe, was genau f1(0/0) ist.

$\begin{eqnarray*} f_1(0,0) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. Stetige Fortsetzbarkeit bedeutet, dass der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ existieren muss.

13.06.2010, 18:15

Ellorrrrr

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hm und wie löse ich die aufgabe ? funktioniert also mein weg nicht ?

13.06.2010, 18:21

system-agent

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Bisher habe ich noch nicht deinen Weg gesehen.
Wie gesagt, du musst zeigen dass der erwähnte Grenzwert existiert. Das kannst du entweder so tun wie ich es in meinem ersten Beitrag angedeutet habe oder du musst über die Definition gehen, was ich allerdings nicht empfehlen würde.

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13.06.2010, 18:30

Ellorrrrr

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f(t,0) = (t^2 + 0) ^(3/2) * sin(1/t)

dann limes t gegen 0 laufen lassen

f(t,0)= t^(4/3)*1= 0

das gleiche würde ich noch für y machen

13.06.2010, 19:59

system-agent

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Das zeigt aber alles nicht, dass der Grenzwert existiert, das zeigt lediglich, dass die Grenzwerte existieren, wenn man sich auf den Koordinatenachsen der Null nähert. Damit der oben genannte Grenzwert existiert, muss jeder Grenzwert existieren egal auf welche Art und Weise man sich der Null nähert.

13.06.2010, 22:37

Ellorrrrr

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wie zeig ich das ? ich könnte nochmal f(t,t) ausrechnen

13.06.2010, 22:47

system-agent

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Nehmen wir mal ein anderes Beispiel. Angenommen wir haben $\begin{eqnarray*} g(x)=x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ und wollen sehen was mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}g(x) \end{eqnarray*}$ (*) passiert. Nun hier gibts zwar bloss 2 mögliche Seiten der Annäherung an die Null, aber wir machen gleich beide zusammen:

Es ist $\begin{eqnarray*} \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\neq0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das heisst der Teil ist beschränkt. Ausserdem ist es klar, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}x=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun was sagen die Grenzwertsätze wenn man ein Produkt aus etwas hat das nach Null konvergiert und etwas das beschränkt ist? Das zeigt dann den gewünschten Grenzwert (*).

14.06.2010, 12:49

Ellorrrrr

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der gewünschte grenzwert, ist doch dann 0 ? aber das ich doch im prinzip das selbe was ich gemacht habe, oder sehe ich das grad falsch

Wir nähern und nur von richtung x gegen 0 und danach von richtung y gegen 0 an,

f(t,0) = f(0,t)= t^(4/3)*1= 0
f(t,t) = 0

ist das nicht dann der beweis das bei (0/0) die funktion stetig ist ?

bei der zweiten aufgabe müssen man dann schaun ob die funktion am Punkt (0/y) stetig ist

dann würde ich x gegen laufen lassen und y gegen y ?^^

lg

14.06.2010, 13:30

system-agent

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Ja, der Grenzwert ist Null in meinem Beispiel - und auch in deinem Beispiel. Und nein, es ist nicht das Gleiche, denn wie ich schon ausführlich geschrieben habe, näherst du dich mit deiner Methode der Null immer bloss aus einer bestimmten Richtung.

Zitat:

ist das nicht dann der beweis das bei (0/0) die funktion stetig ist ?

unglücklich

Eine Funktion kann bloss dort stetig sein wo sie auch definiert ist. Ist sie im Nullpunkt etwa definiert?

14.06.2010, 13:54

Ellorrrrr

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hm es gibt doch nur zwei richtungen x und y, und von beiden näher ich mich gegen 0 und nein die funktion ist nicht im nullpunkt definiert darum nähern wir uns ja die an,

aber auch wenn das jetzt nervig rüberkommt, aber ich verstehe das nicht mit den richtungen,

Es gibt vier Richtungen, -x bis 0, x bis 0, y bis 0, -y bis 0, dann hätte ich doch alle richtungen durch,

Meine Frage bei a) wäre ja dann gelöst, sie ist stetig (ausser den Punkt 0/0 ), und deswegen reele Fortsetzbar

14.06.2010, 13:58

system-agent

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Dann male dir mal eine Ebene und mach einen Punkt da hinein.
Auf wieviele Richtungen kannst du dich dann deinem gemalten Punkt annähern?

14.06.2010, 14:14

Ellorrrrr

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unendlich viele Richtungen. aber wie rechne ich das dann aus ?

ich müsste ja beweisen das dann jede koordinate gegen 0 läuft,

würde das dann nicht reichen zu behaupten sin(x)=1 und die funktion läuft immer gegen 0, da (x,y)^(3/4) ?

14.06.2010, 14:18

system-agent

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Zitat:

Original von Ellorrrrr
unendlich viele Richtungen.

Ganz genau.

Zitat:

Original von Ellorrrrr
würde das dann nicht reichen zu behaupten sin(x)=1 und die funktion läuft immer gegen 0, da (x,y)^(3/4) ?

Das ist vollkommener Unsinn was da steht.

Aber ich denke du willst auf das Hinaus was ich schon im ersten Beitrag angedeutet habe:
Damit $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, muss folgendes gelten:
Für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ muss man ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden können derart, dass falls $\begin{eqnarray*} \|(x,y)-(0,0)\|<\delta \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |f(x,y)-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun du hast jetzt zu begründen, wieso man für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein solches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ finden kann [das bedeutet nicht, dass du es konkret angeben musst!].

Nutze dazu die Beschränktheit vom Sinus und dass der Vorfaktor vor dem Sinus brav gegen Null geht.

14.06.2010, 15:10

Ellorrrrr

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sry, ich hab zwar nun dein Satz versucht zu verstehen und den auch in mein Skript als definition für die Stetigkeit gefunden, aber wie ich den anwenden soll fällt mir unmöglich
Ich hatte mit solchen Sätzen immer schon meine Probleme

14.06.2010, 15:24

system-agent

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Zitat:

Original von Ellorrrrr
sry, ich hab zwar nun dein Satz versucht zu verstehen und den auch in mein Skript als definition für die Stetigkeit gefunden

Das ist sicher nicht die Definition der Stetigkeit. Das was ich oben geschrieben habe ist eine Möglichkeit wie man den Grenzwert einer Funktion definieren kann.

Nun dann mache ich es nocheinmal an meinem Beispiel vor.
Also wir haben zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}g(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.
Dann ist
$\begin{eqnarray*} |g(x)-0|=\left|x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|=|x|\cdot\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right| \end{eqnarray*}$
Nun nutzen wir die Beschränktheit vom Sinus durch 1 und wir erhalten
$\begin{eqnarray*} |x|\cdot\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq|x|=|x-0| \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet nun: Falls $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genügend Nahe bei Null ist, dh $\begin{eqnarray*} |x-0|<\delta \end{eqnarray*}$ , dann wird $\begin{eqnarray*} |g(x)-0| \end{eqnarray*}$ beliebig klein, also auch mal kleiner als unser vorgegebenes $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Insgesamt kann man also für jedes beliebige vorgegebene $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden derart, dass falls
$\begin{eqnarray*} |x-0|<\delta \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray*} |g(x)-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Nach Definition vom Grenzwert gilt also
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}g(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun für dein Beispiel kannst du das ganz analog machen.

14.06.2010, 15:47

Ellorrrrr

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in mein Fall wär das ja dann,

|(x^2+y^2)^(3/2) | * |sin(1/(sqrt(x²+y²))| < (x²+y²)^(3/2)

|(x^2+y^2)^(3/2) | * 1 <( x^2+y^2)^(3/2) - 0

bei b)

hätte ich dann

|f(x,y) - f(0,y)| < e
| (x,y) - (0,y) | < sigma

kann ich auch hier annehmen das (f(x,y) - 0) < e ?

14.06.2010, 15:52

system-agent

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Einfach irgendwelche Ungleichungen ohne jede Erklärung hinzuschreiben nützt wenig. Bitte nutze doch den Formeleditor.
Übrigens wäre es $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ in den oberen beiden Ungleichungen.

Schätze doch jetzt mal ordentlich ab:
$\begin{eqnarray*} |f_1(x,y)-0|=|?|\leq? \end{eqnarray*}$
und begründe, wieso man obiges beliebig klein kriegt, wenn man $\begin{eqnarray*} \|(x,y)\| \end{eqnarray*}$ genügend klein nimmt.

14.06.2010, 16:16

Ellorrrrr

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$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0,0| = (x^{2}+y^{2})* 1 \end{eqnarray*}$
da sinus beschränkt ist
und da wir uns ja an der 0 unendlich nahe annähren ist sinus nur 0,99999999

also gilt ja

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+y^{2})\leq (x^{2}+y^{2})= | (x,y) -(0,0) | \end{eqnarray*}$

d.h wenn $\begin{eqnarray*} | (x,y) - ( 0,0) | \end{eqnarray*}$ geht auch $\begin{eqnarray*} (f(x)-0) \end{eqnarray*}$ unendlich klein und sogar kleiner werden kann also gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{x,y \to 0,0} x \end{eqnarray*}$
falls ich das richtig verstanden habe

wie soll ich den bei b) abschätzen

Edit:
LaTeX korrigiert; du musst jede Formel zwischen [latex] und [ /latex] (ohne Leerzeichen in der zweiten Klammer) schreiben. system-agent

14.06.2010, 16:17

Ellorrrrr

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ah irgendwie hat es nicht mit dem formeleditor geklappt

14.06.2010, 16:35

system-agent

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Ich habe das LaTeX korrigiert.

Ich frage mich allerdings was du da immer machst, davon werde ich einfach nicht schlau.

$\begin{eqnarray*} |f_1(x,y)-0|=\left|(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\right|\leq|(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}|=(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

und letzteres wird beliebig klein, wenn $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ immer näher an die Null kommt.
Beachte dabei:
$\begin{eqnarray*} (x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}=\|(x,y)\|^3 \end{eqnarray*}$ in der euklidischen Norm und diese ist stetig.

Solche Formulierungen wie "ist ungefähr 0,99999999" sind vollkommen daneben.
Bitte achte darauf sorgfältig zu formulieren und aufzuschreiben, ansonsten wird es unnötig falsch und unverständlich.

14.06.2010, 17:02

Ellorrrrr

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Alles klar, ja sry, ich muss mich erstmal noch einbisschen dran gewöhnen^^

Aber erstmal vielen vielen dank für deine geduld und mühe, ich glaube ich hab es in etwas verstanden^^

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