Integral berechnen mit Satz von Gauß

13.06.2010, 17:12

thorsten_s.

Integral berechnen mit Satz von Gauß

Hallo,

ich weiss bei einer Analysis-Aufgabe nicht mehr, wie ich weitermachen soll.
Die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine offene Menge, wobei der Rand $\begin{eqnarray*} \partial \Omega \end{eqnarray*}$ glatt sei. $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ bezeichne die äußere Einheitsnormale.

Berechne für das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} a(x,y,z)=(0,0,-\rho z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rho > 0 \end{eqnarray*}$ den Wert des Integrals

$\begin{eqnarray*} -\int_{\partial \Omega}<a,\nu>d\mu_{\partial \Omega} \end{eqnarray*}$

[Mit $\begin{eqnarray*} <.,.> \end{eqnarray*}$ ist das euklidische Skalarprodukt gemeint.]

Meine Idee ist, das Integral über den Satz von Gauß zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} -\int_{\Omega}div_\Omega\ (a) \ d\mu_\Omega = -\int_{\partial \Omega} <\nu, a>_{T_pM}d\mu_{\partial \Omega} \end{eqnarray*}$

Das heisst, ich muss eigentlich nur die Divergenz ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} div(a(x,y,z))=div((0,0,-\rho z))=0+0+\frac{\partial(-\rho z) }{\partial z}=-\rho \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} -\int_\Omega-\rho\ d\mu_{\Omega}=\int_\Omega\rho\ d\mu_{\Omega} \end{eqnarray*}$

Da ich von der Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nur weiß, dass sie offen ist, im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ liegt und einen glatten Rand hat, weiß ich nicht, wie ich das Integral berechnen soll...
Ich hab doch eigentlich zu wenig Informationen gegeben, oder?

Es wäre schön, wenn ihr mir helfen würdet.

Viele Grüße,
Thorsten

13.06.2010, 17:22

Cel

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RE: Integral berechnen mit Satz von Gauß

Zitat:

Original von thorsten_s.
Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} -\int_\Omega-\rho\ d\mu_{\Omega}=\int_\Omega\rho\ d\mu_{\Omega} \end{eqnarray*}$

[...]

Ich hab doch eigentlich zu wenig Informationen gegeben, oder?

Das Rho auf der rechten Seite kannst du aus dem Integral rausziehen. Und was erhält man, wenn man die 1 über einem Gebiet integriert?

13.06.2010, 17:54

thorsten_s.

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Hi,

du hast natürlich Recht, das $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ist ja ein Skalar, also kann ich es rausziehen.
Also erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \int_\Omega\rho\ d\mu_{\Omega}=\rho\int_\Omega \ d\mu_{\Omega}=\rho \Omega \end{eqnarray*}$
Ist das richtig? Man multipliziert das Gebiet mit einer Zahl, d.h. man verzerrt es irgendwie?!

Gruß,
Thorsten

13.06.2010, 17:58

Cel

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Na ja, so ganz stimmt das nicht. Ein Gebiet mal eine Zahl, was ist das? Es geht um das Maß des Gebietes:

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega\rho\ d\mu_{\Omega}=\rho\int_\Omega \ d\mu_{\Omega}=\rho \mu_{\Omega}(\Omega) \end{eqnarray*}$

Deswegen muss der Rand auch glatt sein, sonst käme da womoglich unendlich raus.

13.06.2010, 18:06

system-agent

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Zitat:

Original von Mr. Brightside
Deswegen muss der Rand auch glatt sein, sonst käme da womoglich unendlich raus.

Glatter Rand impliziert ein beschränktes Gebiet? Was ist dann zb. mit
$\begin{eqnarray*} H=\{(x_1,...,x_n)\in\mathbb R^n\quad:\quad x_n>0\} \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

13.06.2010, 18:13

Cel

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Nun ja, dann vergessen wir das mit dem glatten Rand mal. Das steht dann wohl nur deswegen da, damit man den Satz von Gauß überhaupt anwenden kann?

13.06.2010, 18:19

system-agent

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Soweit ich weiss, muss die Menge kompakt sein, also insbesondere beschränkt. Und ja einen stückweise glatten Rand braucht sie auch noch.

13.06.2010, 18:30

thorsten_s.

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In meinem Skript stehen als Voraussetzungen für den Satz von Gauß:

Eine kompakte, Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand, wobei der Rand auch die leere Menge sein darf, eine äußere Einheitsnormale und ein stetig differenzierbares Vektorfeld.

Also von daher verstehe ich auch nicht, wieso in der Aufgabe dabei steht, dass der Rand glatt sein soll.

13.06.2010, 19:58

system-agent

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Ich (und du auch) habe vorhin orientierbar vergessen...

Der glatte Rand sichert, dass ebendieser wieder eine glatte Mannigfaltigkeit ist und daher das Integral definiert ist.

14.06.2010, 10:16

thorsten_s.

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Hallo,

die Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit ist für den Satz von Gauß keine Voraussetzung, wohl aber für den Satz von Stokes (zumindest nach meinem Skript).
Es gibt wohl auch Lehrbücher, die die Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit für den Satz von Gauß voraussetzen; dann wird der Beweis eben ein Stück kürzer oder einfach anders.
Die Definition eines Integrals über eine riemann'sche Mannigfaltigkeit setzt nach unserer Vorlesung auch nicht voraus, dass diese glatt ist bzw. einen glatten Rand besitzt :

"Es sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine riemann'sche Mannigfaltigkeit mit gutem Atlas $\begin{eqnarray*} (x_n, U_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und einer zugehörigen Partition der Eins $\begin{eqnarray*} (\varphi_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Dann heisst eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:M \to \mathbb R_0^+ \end{eqnarray*}$ integrierbar falls für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Funktionen $\begin{eqnarray*} ((f \varphi_n) \circ x_n)\det\sqrt{G_x}:x_n(U_n) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ integrierbar sind. Dabei ist $\begin{eqnarray*} G_n \end{eqnarray*}$ die Matrix des metrischen Tensors $\begin{eqnarray*} (g_n)_{ij} \end{eqnarray*}$ bezüglich der Karte $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ . Das Integral $\begin{eqnarray*} \int_M f d\mu \end{eqnarray*}$ ist definiert wie folgt: $\begin{eqnarray*} \int_M f d\mu:=\sum_{n\in\mathbb N}\int_{x_n(U_n)}(f\varphi_n)(x)\det\sqrt{g_n(x)}\ dx \end{eqnarray*}$ "

Genau diese Definition wird auch für den Beweis des Satzes von Gauß benutzt.

Ciao,
Thorsten

14.06.2010, 10:20

system-agent

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Und was ist ein guter Atlas?

Normalerweise versteht man unter einer Riemannschen Mannigfaltigkeit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit + Riemannscher Metrik.
Ansonsten würde die differenzierbarkeitsbedingung an die Riemannsche Metrik schon keinen Sinn geben.

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