Abbildungen

01.11.2006, 19:45	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen Es sein M und N nichtleere Mengen und f: $\begin{eqnarray} M \rightarrow N \end{eqnarray}$ eine Abbildung. Zeige dass: (a) f ist injektiv genau dann, wenn es ein g: $\begin{eqnarray} N \rightarrow M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ = id M gibt. (Beachte dass 2 Implikationen zu zeigen sind. (b) Existierteine Abbildung g: $\begin{eqnarray} N \rightarrow M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \circ g \end{eqnarray}$ = id N , so ist f surjektiv. Wie kann ich das zeigen? Habt ihr Vorschläge???
01.11.2006, 23:21	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungen Leute kann mir dabei keiner einen kleinen Tipp geben ?
01.11.2006, 23:38	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rückrichtung bei (a) sollte etwas einfacher sein! Wenn es ein $\begin{eqnarray} g:N\to M \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} g\circ f=\operatorname{id}_M \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ injektiv. Das ist die Aussage. Dazu musst du zeigen: Aus $\begin{eqnarray} f(m_1)=f(m_2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m_1,m_2\in M \end{eqnarray}$ folgt, dass gilt: $\begin{eqnarray} m_1=m_2 \end{eqnarray}$ . Beachte, dass nach Voraussetzung für alle $\begin{eqnarray} m\in M \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} m=g(f(m)) \end{eqnarray}$ . Bei (b) musst du zeigen, dass zu jedem $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} m\in M \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} f(m)=n \end{eqnarray}$ gilt. Beachte, dass hier nach Voraussetzung $\begin{eqnarray} f(g(n))=n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in N \end{eqnarray}$ gilt. Welches $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ kannst du hier also wohl jeweils wählen? Gruß MSS
01.11.2006, 23:59	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Grund dürfte es ja egal sein was ich für m wähle oder? MAn kann ja jede zahl einsetzen, z.b. 1 oder 2...irgendein element der menge M eben
02.11.2006, 16:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, natürlich nicht! Zunächst müssen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ nicht in der Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ liegen. Sie muss überhaupt nicht aus Zahlen bestehen. Mach es so: Sei $\begin{eqnarray} n_0\in N \end{eqnarray}$ beliebig, aber fest. Jetzt musst du ein $\begin{eqnarray} m_0\in M \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} f(m_0)=n_0 \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} f(g(n_0))=n_0 \end{eqnarray}$ . Welches $\begin{eqnarray} m_0 \end{eqnarray}$ kannst du dann wohl wählen? Gruß MSS
08.11.2006, 20:37	chris85	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} m_0 \end{eqnarray}$ kann ich als $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ wählen. ist das richtig?
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08.11.2006, 20:49	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nö, $\begin{eqnarray} f(n_0)=n_0 \end{eqnarray}$ stimmt ja nicht! Du hast $\begin{eqnarray} f(m_0)=n_0=f(g(n_0)) \end{eqnarray}$ . Deshalb kannst du das Ganze mal mit $\begin{eqnarray} m_0=g(n_0) \end{eqnarray}$ probieren! Gruß MSS

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