implizite Funktionen

14.06.2010, 08:31

nube28

implizite Funktionen

Hallo

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=z^3+z+xy-1 \end{eqnarray*}$ . Ich soll zeigen, dass es genau eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R}^2 ->\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe bereits bewiesen, dass es zu jedem z ein eindeutiges x,y gibt. Aber die Existenz solch einer diff'baren Funktion g bekomme ich nicht hin. Ich glaube, dass man das mit dem Satz über implizite Funktionen machen muss. Das kriege ich aber nicht hin. Kann mir da jemand helfen?

14.06.2010, 08:41

system-agent

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Du musst die Voraussetzungen für den Satz überprüfen. Vor allem musst du das Differential deiner Funktion ausrechnen.

14.06.2010, 08:54

nube28

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ja, ok

Für das Differential habe ich $\begin{eqnarray*} Df(x,y,z)=(y, x, 3z +1) \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

Und wie überprüfe ich jetzt die Vorraussetzungen?
Ich brauch doch einen Punkt (u,v,w) für den f(u,v,w)=0 und die Determinante der partiellen Ableitung nach z muss an dieser Stelle ungleich 0 sein oder?

14.06.2010, 09:11

system-agent

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Der dritte Eintrag im Differential ist falsch.

Nun du willst nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen. Welcher Teil vom Differential muss also dann Determinante ungleich Null haben?

14.06.2010, 09:26

nube28

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Es muss heißen $\begin{eqnarray*} 3z^2 + 1 \end{eqnarray*}$

Der dritte Teil? Aber wie kann ich von einem Eintrag die Determinante berechnent?

14.06.2010, 09:42

system-agent

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Zitat:

Original von nube28
Der dritte Teil?

Ja genau.

Zitat:

Original von nube28
Aber wie kann ich von einem Eintrag die Determinante berechnent?

Du sollst die Teilmatrix betrachten. Diese ist eine 1x1-Matrix und wie berechnet man die Determinante einer 1x1-Matrix?

14.06.2010, 09:58

nube 28

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Das müsste die Zahl selber sein oder?
Also $\begin{eqnarray*} det=3z^2+1 \end{eqnarray*}$ und die ist für alle z ungleich 0.

Wenn ich dann also sage: Es gibt zu jedem z eindeutige x,y, die so z bestimmen, dass f(x,y,z)=0 ist.
Sei (u,v,w) ein solcher Punkt. Dann gilt $\begin{eqnarray*} det \frac{\partial f}{\partial z} (u,v,w) = 3w^2 + 1 \end{eqnarray*}$ Also ungleich 0 für alle w. Damit folgt nach dem Satz über implizite Funktionen, dass es eine Funktion g existiert, sodass f(x,y,g(x,y))=0

Ist das richtig so?

14.06.2010, 10:07

system-agent

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Zitat:

Original von nube 28
Das müsste die Zahl selber sein oder?

Ja.

Zitat:

Original von nube 28
Also $\begin{eqnarray*} det=3z^2+1 \end{eqnarray*}$ und die ist für alle z ungleich 0.

Dieser Aufschrieb ist lausig unglücklich

.
Die Matrix ist $\begin{eqnarray*} \left(3z^2+1\right) \end{eqnarray*}$ und dann ist
$\begin{eqnarray*} \det\left(3z^2+1\right)=3z^2+1 \end{eqnarray*}$ .

Der Satz sagt nun, dass man die Gleichung $\begin{eqnarray*} F(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ überall dort nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auflösen kann, wo $\begin{eqnarray*} 3z^2+1\neq0 \end{eqnarray*}$ ist. Da immer der Fall ist, folgt dass es eine eindeutige [das sagt der Satz] Funktion $\begin{eqnarray*} z=g(x,y) \end{eqnarray*}$ gibt derart, dass
$\begin{eqnarray*} F(x,y,g(x,y))=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Und wieso ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ differenzierbar?

14.06.2010, 10:15

nube 28

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Wir haben in der vorlesung gehabt, dass es g eine C^k Funktion ist, mit k<=1. Also ist sie mindestens einmal differenzierbar

Danke für deine Hilfe :-)

14.06.2010, 10:17

nube 28

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Ich meinte k>=1

14.06.2010, 10:17

system-agent

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Zitat:

Original von nube 28
Wir haben in der vorlesung gehabt, dass es g eine C^k Funktion ist, mit k<=1. Also ist sie mindestens einmal differenzierbar

Tja, und genau deshalb solltest du extra hinschreiben, warum man den Satz überhaupt nutzen darf. Die Voraussetzung ist, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar ist und dann sagt der Satz, dass es auch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist.

14.06.2010, 10:18

nube 28

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Ach ja, danke für den Tipp, das hätte ich einfach vergessen.

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