Komplexe Zahlen |
01.11.2006, 19:56 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Komplexe Zahlen Aufgabe: Ich kam darauf das Ganze so umzustellen, dass man das bekommt: Ich bezweifel aber, dass das richtig ist oder wenigstens damit beendet. Kann mir jemand einen Tip geben? Ich meine es gab auch eine Formel darzustellen. |
||||||||
01.11.2006, 19:58 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
warum sollte dein ergebnis falsch sein! ? |
||||||||
01.11.2006, 20:01 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@derkoch Du solltest die Überschrift lesen. @Bujashaka Das ist nur eine der 5 komplexen Lösungen, die anderen vier fehlen noch. EDIT: Uuups, wie komme ich auf 5? Natürlich meine ich komplexe Lösungen, von denen noch fehlen. |
||||||||
01.11.2006, 20:02 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es wäre viel zu einfach Wie gesagt, die gegebenen Ausdrücke sollen über berechnet werden. @ Arthur: Kannst du mir einen konkreteren Hinweis geben? Wüsste keine weiteren Möglichkeiten |
||||||||
01.11.2006, 20:03 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ups! Mist, du hast recht Arthur. edit: revidiere alles was oben stand! |
||||||||
01.11.2006, 20:21 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe noch eine Formel gefunden, mit der man ausdrücken kann: Leider weiss ich nicht, wie man damit noch auf 4 weitere Lösungen kommen sollte, wenn sein soll. |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
01.11.2006, 22:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Formel hat schon etwas damit zu tun! Aber sie gilt auch für gebrochene n: Für z schreibst du hier: Füge bitte den Winkel selbst ein. Wir erhalten alle Wurzeln, wenn für k nacheinander alle natürlichen Zahlen von 0 bis n-1 eingesetzt werden. Gr mYthos |
||||||||
02.11.2006, 10:23 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe mit der Formulierung ein kleines Problem... Ich weiß nicht, wie ich es umsetzen soll. Betrag (z) = r = 5 Arg (z) = 0° bzw. 0 rad Für ganze n: -> Probe geht nicht auf Für gebrochene n: Sollte es falsch sein, bitte ich wiederum um Hilfe. Wüsste jetzt auch nicht, wie es weitergehen soll oder sind das die endgültigen Lösungen? |
||||||||
02.11.2006, 11:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So war das nicht gemeint. Du mußt die 5 in die Exponentialschreibweise bringen:
Das ist dann richtig. Setze k=0,...,4 |
||||||||
02.11.2006, 11:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Bujashaka Nein, so kann man das nicht formulieren: Nicht für "gebrochene" , das ist hier nach wie vor ganzzahlig. Was du meinst, ist für dann gebrochene . Zu beachten ist, dass keine eindeutige Zahl mehr ist, sondern die Gesamtheit aller Lösungen beschreibt, nämlich indem man rechts einsetzt. Daran sollte man immer denken, wenn man weiter damit operiert! |
||||||||
02.11.2006, 11:20 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Nun was habe ich davon, die 5 in Exponentialschreibweise zu bringen? k = 0, ..., 4 weil wir insgesamt 5 Lösunge haben und eine schon vorliegt? In welche Formel soll das k nacheinander eingesetzt werden? In die Exponentialfkt. oder in meinen Ausdruck von ? Bei dem Ausdruck von kriege ich ja keine konkreten Ergebnisse raus, weil ich ja noch das n darin habe |
||||||||
02.11.2006, 11:52 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vergiß das mit "eine schon vorliegt". Du setzt k = 0, ..., n-1 in und bekommst n verschiedene Lösungen für z^n = 5. EDIT: hatte mich etwas vertan. Du willst ja z^n = 5 lösen und nicht z^5 = 5. |
||||||||
02.11.2006, 12:30 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Etwas mehr Klarheit bekommst du, wenn du mal in für n = 5 einsetzt, das wird dann zu bzw. . Nun zählen wir die k von 0 bis 4 und sehen, dass der erste Winkel 0°, der zweite 72°, der dritte 144°, usw. wird. Das Ganze läuft gegen den Uhrzeigersinn im Kreis (sh. Zeigerdarstellung in der Gauß'schen Zahlenebene), solange, bis wir wieder am Anfangspunkt sind (wenn k = 5, 6, 7 .. eingesetzt würden, würde das keine neuen Lösungen mehr bringen). Der volle Winkel des Kreises (360°) wird also - beginnend vom Winkel der gegeben komplexen Zahl - durch n geteilt (hier durch 5) und jeder der entstehenden Winkel für die trigonometrische Schreibweise der (komplexen) Lösungen verwendet. Dabei können zwischendurch auch reelle Lösungen vorkommen (z.B. bei ). Deswegen heissen solche Gleichungen auch "Kreisteilungsgleichungen". mY+ |
||||||||
02.11.2006, 18:32 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Solangsam verliere ich wohl den Überblick. Also mal kurz zusammengefasst, was gegeben ist und ich aus den Beiträgen erlese. kann ich widerrum in trigonometrischer Form darstellen: ...für ganze n:
Wieso ist "5 = 5*..."? Woher kommt das r = 5? Wie kommt man darauf? ..für gebrochen rationale n:
Ok, ich soll einsetzen. Doch was hab ich denn davon? Mythos meint, ich soll für k 1 bis 4 einsetzen (weil ab 5 die gleich Lösungen kommen) und bekomme die weiteren Lösungen!?
Warum wird z durch n geteilt? Warum ist n gleich 5? Vorallem wird mir einfach nicht klar, wie ich auf eine Lösung kommen soll. Für mich wäre die Aufgabe mit dem Ausdruck für ganze und gebrochenrationale n beendet. Ich verzweifel solangsam aber sicher |
||||||||
02.11.2006, 18:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht ist die Verwirrung dadurch entstanden, weil ich zwischendurch dachte, du wolltest z^5 = 5 lösen. Ich fasse daher mal zusammen. Wir haben zu lösen: mit z aus den komplexen Zahlen. Wir schreiben: Da cos und sin 2pi-periodisch sind, kann man auch einfach das 2k*pi-fache addieren. Jetzt die n-te Wurzel ziehen liefert: Dabei läuft k von 0 bis n-1. Ab k >=n erhält man wieder die gleichen Winkel. |
||||||||
04.11.2006, 13:40 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok. Damit wäre ja die Lösung für z bekannt. Habe da aber immer noch ein Verständnisproblem. 1. Warum ist r in deiner Gleichung gleich 5? 2. Ist der Winkel 0° bzw. 0 rad, weil in der Gleichung kein i*b vorkommt? Bzw. i*b = 0 ist und wir damit das Argument von z = 0° erhalten? 3. Warum wird der Winkel von 0 zu 2kpi? |
||||||||
04.11.2006, 16:01 | derkoch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
weil deine ausgangsgleichung ist! und für k= 0 oder für " 0° " verschwindet doch der imaginäre teil und es existiert nur der reele teil, also 5! |
||||||||
04.11.2006, 18:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Angenommen, du willst aus 5 im komplexen Zahlenbereich die 4. Wurzel ziehen. Dann suche ich für die 5 4 verschiedene Darstellungen: Also: Jetzt ziehen wir die 4. Wurzel: |
||||||||
04.11.2006, 19:21 | Bujashaka | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah jetzt hab ich es verstanden Herzlichen Dank an die Helfer! Man, was ein riesen Brett ich vorm Kopp hatte |
||||||||
05.11.2006, 11:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na fein. Wobei mir einfällt, daß man obiges so nicht schreiben kann. Richtig wäre: oder oder oder |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|