cos(x)+cos(2x)=0 x bestimmen

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mattt Auf diesen Beitrag antworten »
cos(x)+cos(2x)=0 x bestimmen
Hallo,

also ich sitze hier an einer HA und frage mich, wo ich ansetzen soll.

Die Aufgabe lautet: Alle x element R bestimmen für die die Gleichung:

cos(x) + cos (2x) = 0 gilt.

In meiner Wertetabelle sehe ich, dass um -1, 1, 3, 5, 7, also immer +2 eine Nullstelle liegt. Wie kann ich hier die mathematische Herleitung beginnen?

Danke schon mal im voraus.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende die Doppelwinkelformel



Und danach gleich , dann kannst du es auf eine quadratische Gleichung substituieren.

air
 
 
mattt Auf diesen Beitrag antworten »

Also Danke erstmal.

Also ich habe dann:



Jetzt habe ich da ja nun noch ein Minus. Ist oder wie war das gemeint von dir. Tut mir leid, dass ich das nicht ganz verstehe jetzt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mattt
Ist oder wie war das gemeint von dir.


Nein, ich sagte , ohne ein mysteriös erscheinendes Minus davor. Ich kaue dir eben nicht alles vor. Augenzwinkern

Du sollst diese zweite Gleichung anwenden, indem du sie umformst und so einen störenden Summanden in der zu lösenden Gleichung eliminierst.
Jetzt denken wir mal nach: Ich sagte ja bereits, dass du am Ende substituieren sollst. Welcher der drei Terme cos(x), cos²(x) und sin²(x) fällt dann am ehesten "aus der Reihe"? Augenzwinkern

air
mattt Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für den Hinweis.

Ich habe nun:

Indem ich eingesetzt habe.

Das Problem, warum ich nicht auf die Lösung komme und auch eben nicht genau wusste, wie ich verfahren sollte ist, dass ich mir nicht ganz im Klaren darüber bin, welche Form die Lösung hat. Da die Funktion periodisch ist, müssen ja unendlich viele Nullstellen vorhanden sein, dh das Ergebnis muss eine Formel sein. Das verwirrt mich etwas.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den unendlich vielen Lösungen ergibt sich bei trigonometrischen Gleichungen meist daraus, dass die alle periodisch sind. Du kannst also bei sowas getrost erstmal davon ausgehen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.

In diesem Fall entstehen die unendlich vielen Lösungen beim Resubstituieren. Hoffentlich erkennst du nun auch, dass deine Lösungen nicht ganzzahlig sind, sondern Vielfache von Pi sind (also ist eine Nullstelle nicht bei x=3, sondern x=Pi).

Wie man vorgeht beim Lösen ist Erfahrungssache, etwas Hinschauen und natürlich Nachdenken. Wichtig ist, dass du die grundlegenden Techniken parat hast (Faktorisieren, Substituieren, simple Additionstheoreme, ...), denn dann siehst du es auch viel eher.
Wer wirklich jede Formel erst nachschlagen muss ist aufgeschmissen. Er könnte sie zwar anwenden, sieht aber erst gar nicht, dass sie sich irgendwie anbietet.

air
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt auch eine Alternativlösung, die nur Periodizität und Symmetrie der Kosinusfunktion nutzt: Es gilt ja

.

Angewandt auf ergibt das mit und :

.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ist auf jeden Fall die elegantere Lösung Freude

air
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