Unabhängigkeit Folge

14.06.2010, 17:39	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit Folge Folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \Omega := [0,1] \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathcal{A} = \mathcal{B}([0,1]) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathbb{P} = \lambda^1\|_{[0,1]} \end{eqnarray}$ . Für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A_n := \left[ 0, \frac{1}{2^n} \right] \cup \left[ \frac{2}{2^n},\frac{3}{2^n} \right] \cup \left[ \frac{4}{2^n},\frac{5}{2^n} \right] \cup \ldots \cup \left[ \frac{2^n-2}{2^n},\frac{2^n-1}{2^n} \right] \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Die Folge $\begin{eqnarray} (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist unabhängig. So... zu zeigen hätte man ja, dass für jede nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} \{i_1,\ldots,i_n\} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_n}) = \prod_{j=1}^n \mathbb{P}(A_{i_j}) \end{eqnarray}$ bzw. (per Induktion) $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_n}) = \mathbb{P}(A_{i_n}) \cdot \mathbb{P}(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_{n-1}}) \end{eqnarray}$ Ziemlich offensichtlich ist, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(A_n) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und es ist auch ziemlich anschaulich, dass die Behauptung stimmt. Aber wie beweist man das am besten?
15.06.2010, 15:42	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand eine Idee...?
15.06.2010, 16:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir mal an, wie man für $\begin{eqnarray} \omega \in\Omega \end{eqnarray}$ die (Nicht-)Zugehörigkeit $\begin{eqnarray} \omega\in A_n \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Binärdarstellung $\begin{eqnarray} \omega = [0,b_1b_2b_3\ldots]_2 \end{eqnarray}$ charakterisieren kann, das hilft dann hoffentlich beim Verständnis dieser Mengen $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ sowie deren Durchschnitte.
15.06.2010, 17:15	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, wenn ich mich nicht irre, ist $\begin{eqnarray} A_n \end{eqnarray}$ gerade die Menge aller Zahlen mit $\begin{eqnarray} b_n =0 \end{eqnarray}$ ... oder? Es hilft zwar tatsächlich beim Verständnis, aber so ein wirklich korrekter mathematischer Beweis fällt mir irgendwie trotzdem noch nicht ein Edit: Ein etwas merkwürdiger Beweis wäre ja der folgende: Sei $\begin{eqnarray} i_{n+1} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i_{n+1} \not= i_j \end{eqnarray}$ (j=1,...,n). Dann existiert zu jeder Zahl $\begin{eqnarray} x \in A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_{n+1}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b_{i_1}=\ldots=b_{i_{n+1}} = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x = \sum_{k=1}^{\infty} b_k \cdot 2^{-k} \end{eqnarray}$ eine Zahl y mit $\begin{eqnarray} a_{i_1} = \ldots = a_{i_n} = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{i_{n+1}} = 1 \end{eqnarray}$ (restliche Koeffizienten wie bei x) in $\begin{eqnarray} <br /> <br /> y = \sum_{k=1}^{\infty} a_k \cdot 2^{-k} \end{eqnarray}$ Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} y \in A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_n} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} y \notin A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_{n+1}} \end{eqnarray}$ . Also folgt: $\begin{eqnarray} \lambda(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_{n+1}}) = \frac{1}{2} \cdot \lambda(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_n}) \end{eqnarray}$ Aber mh, so richtig schön ist das irgendwie auch nicht...

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