flächeninhalt mit integral bestimmen

14.06.2010, 17:44	analysisisthedevil	Auf diesen Beitrag antworten »
flächeninhalt mit integral bestimmen bestimmen sie den gesamtflächeninhalt der beiden gebiete die durch die beiden funktionen eingeschlossen werden $\begin{eqnarray} f(x)=x^3-2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x)=x^2 \end{eqnarray}$ also klar zuerst muss ich die schnittpunkte der beiden funktionen bestimmen,das habe ich auch schon gemacht x=0 x=-1 x=2 wie ich den inhalt links bestimme weis ich,aber mich irritiert irgendwie,das die rechte fläche teilweise über und unter der x-achse ist. wie bestimme ich den inhalt der rechten fläche? also ich machs jetz einfach mal,das wird wohl ein ziemliches wirrwar werden. $\begin{eqnarray} \left(\int_{-1}^0 \! x^3-2x \, dx - \int_{-1}^0 \! x^2 \, dx \right) + \left(\left(\int_0^2 \! x^2 \, dx - \int_{\sqrt{2} }^2 \! x^3-2x \, dx \right) + \int_0^{\sqrt{2} } \!x^3-2x \, dx \right)=3 \end{eqnarray}$ stimmt das??
14.06.2010, 17:59	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, da die eine Fläche komplett unter der x-Achse liegt, musst du hier den Betrag nehmen oder die Grenzen vertauschen, richtig wäre also $\begin{eqnarray} \left(\int_{-1}^0 \! x^3-2x \, dx - \int_{-1}^0 \! x^2 \, dx \right) + \left(\left(\int_0^2 \! x^2 \, dx - \int_{\sqrt{2} }^2 \! x^3-2x \, dx \right) + \bigg\| \int_0^{\sqrt{2} } \!x^3-2x \, dx\bigg\| \right) \end{eqnarray}$ Aber das ganze ist schon ein wenig umständlich. Wenn in einem Intervall [a;b] eine Funktion f(x) immer über einer Funktion g(x) läuft, d. h. wenn der Funktionswert der Funktion f(x) für alle Stellen $\begin{eqnarray} x_0 \in [a;b] \end{eqnarray}$ größer ist als der von g(x), dann ist die Fläche dazwischen durch $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~(f(x) - g(x))\dd x \end{eqnarray}$ beschrieben. Dabei ist egal, wo die Fläche liegt.
14.06.2010, 18:01	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: flächeninhalt mit integral bestimmen Vielleicht etwas anschaulich, warum das egal ist: Betrachte alternativ die beiden Funktionen $\begin{eqnarray} f(x) = x^3-2x+2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(x) = x^2+2 \end{eqnarray}$ Jetzt liegt die Fläche komplett oberhalb der x-Achse. Die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche ist aber unverändert, weil ja alle Funktionswerte um +2 nach oben verschoben wurden. Wenn du die Differenzfunktion bildest, kürzen sich die +2 ja auch wieder raus. Du musst also nicht die Gebiete trennen (das mit der Stelle bei Wurzel 2 ist also unnötig). Obere minus untere Funktion und gut ist (oder Beträge nehmen, dann ist's egal).

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