Vektorpotential

14.06.2010, 20:10

DOZ ZOLE

Vektorpotential

Hallo,
ich hab ein Problem bei folgender aufgabe:

Zitat:

Vorgegeben sei die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb R^3|x>0,y>0,z>0\right\} \end{eqnarray*}$ und das Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} \vec{v}:M\rightarrow \mathbb R^3, \ \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}(y-x) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) \\ az\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.
Falls möglich, bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ ein globales Potential und ein globales Vektorpotential auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ besitzt.

ich hab nun ein porblem mit dem vektorpotential. ich habe erstmal die notwendige bedingung genutzt und erhalte:

$\begin{eqnarray*} div \ \vec{v} = 0 \Leftrightarrow a=0 \end{eqnarray*}$

also geht es um das vektorfeld

$\begin{eqnarray*} \vec{v}(x,y,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}(y-x) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ heißt ja nun genau dann vektorpotential von $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \vec{v}=rot \ \vec{w} \end{eqnarray*}$

ich setze nun die dritte komponente von $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ konstant und erhalte damit:

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{\partial w_2}{\partial z} \\ \frac{\partial w_1}{\partial z} \\ \frac{\partial w_2}{\partial x}-\frac{\partial w_1}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt anfange zu rechnen bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial w_2}{\partial z}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y) \Leftrightarrow w_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y) z +\phi(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial w_1}{\partial z}=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) \Leftrightarrow w_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y) z +\psi(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial w_2}{\partial x}-\frac{\partial w_1}{\partial y}=0 \Leftrightarrow \frac{\partial \phi}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial \psi}{\partial y}(x,y) \end{eqnarray*}$

aber wie gehts jetzt weiter?

MfG
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