Approximation de Moivre-Laplace Binomialverteilung |
| 15.06.2010, 10:20 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Approximation de Moivre-Laplace Binomialverteilung Hallo, ich verstehe nicht ganz wieso man ein Histogramm einer Binomialverteilung durch die folgenden Schritte an die "Glockenfunktion" annähren kann: 1. Verschiebung um µ nach links 2. Stauchung der Breite um 1/sigma 3. Streckung der Höhe um sigma Meine Ideen: Zum ersten Schritt würde ich sagen, dass dieser deshalb gemacht wird, weil der Hochpunkt des Histogramms dann auch mit dem Hochpunkt der Gauss-Funktion übereinstimmt. Zum zweiten Schritt habe ich keine Idee, passt es dann einfach besser, bzw. immer wenn man die Breite eines Balkens um 1/sigma verringert? Der dritte Schritt ist für mich wieder einigermaßen verständlich, der wird deshalb gemacht, um den insgesamnten Flächeninhalt eines Balkens wieder auf die Fläche vom Anfang zu bringen oder? Also sigma * 1/sigma = 1 Also den zweite verstehe ich nicht wieso gerade um 1/sigma gestaucht wird. |
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| 15.06.2010, 19:57 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
Na, das kann man ohne Rechnung auch nicht so ohne weiteres verstehen. Wir haben doch die Binomialverteilung B(n;p). Die hat einen Erwartungswert E(X) = µ = n*p und eine Varianz V(X) = sigma² = n * p * (1 - p). Und wenn die Laplace Bedingung erfüllt ist, dann kann man diese (diskrete) Verteilung durch die (stetige) Normalverteilung mit µ und sigma approximieren. Nun wollen wir die Normalverteilung durch die Standard-Normalverteilung ausdrücken. Das ist die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1. Dazu transformiert man die Zufallsvariable X in die Variable Z durch die folgende Vorschrift: z = (x - µ) / sigma Na ja, x - µ ist klar ... hier wird man die Dichtefunktion so verschieben, dass der Erwartungswert 0 wird: E(Z) = E( (X - µ) / sigma) = (E(X) - µ) / sigma = (µ - µ) / sigma = 0 Die Varianz berechnen wir wie folgt V(Z) = V( (X - µ) / sigma) = (V(X) - V(µ)) / sigma² = V(X) / sigma² = 1 Aus genau diesem Grunde muss man also durch sigma dividieren - damit wird nämlich erreicht, dass die Varianz der transformierten Variablen = 1 wird. Was heißt dies aber nun für die Dichtefunktionen f(x) bzw. f(z). Na, rechnen wir es einfach nach ... Den Faktor sigma haben wir uns aufgrund der Substitutionsregel eingehandelt. Und damit steht alles da, was wir benötigen: Wir müssen die Dichtefunktion um den Erwartungswert µ verschieben. Dann müssen wir mit dem Faktor 1/sigma die Breite stauchen. Und dann müssen wir die Dichtefunktion noch mit sigma multiplizieren, d.h. die Höhe um den Faktor sigma strecken. Und schon haben wir die Binomalverteilung durch die Standardnormalverteilung approximiert. Grüße |
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| 15.06.2010, 21:11 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo BarneyG. Danke für deine Antwort! Leider verstehe ich die Schritte V( (X - µ) / sigma) = (V(X) - V(µ)) / sigma² = V(X) / sigma² nicht ganz. Ich habe garkeine Idee, wie es dazu kommt. Könntest du diese bitte noch in einzelnen Schritten erklären? Grüße, Jeromi |
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| 16.06.2010, 08:23 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aus dem Verschiebungssatz V(X) = (E(X))² - (E(X))² kann man leicht die folgende Formel herleiten: V(a * X + b) = a² * V(X) Lax ausgedrückt kann man sagen, ein Faktor kann als Quadrat ausgeklammert werden und die Varianz einer Konstanten ist gleich Null. Deshalb ist V((X - µ) / sigma) = V(X) / sigma² Grüße |
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| 16.06.2010, 10:37 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, danke 
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