QR-Zerlegung

15.06.2010, 14:42

mathekasper

QR-Zerlegung

Ich möchte eine QR-Zerlegung machen und finde leider keine gute Erklärung, wie man dies konkret macht.
Die Matrix A sieht so aus:

1 1
1 2
1 2
1 5

also m>n, (4x2 Matrix)

Wahrscheinlich ist das eine relativ einfaches Bsp,aber ein bisschen Hilfe wäre toll!

15.06.2010, 19:00

tigerbine

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RE: QR-Zerlegung
Willkommen

Tipp: Mal die Boardsuche verwenden. Und *wie* willst du QR machen?

15.06.2010, 20:23

mathekasper

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RE: QR-Zerlegung
Mein Problem ist dass ich einen Lsgsweg gefunden haben, der aber voraussetzt, dass A quadratisch ist.
Welche Form haben denn in diesem Fall hier die Matrizen R und Q überhaupt?
Da Q*A= R und A (4x2) hat R Form (m x 2) und Q (m x 4) aber was ist m?

15.06.2010, 21:21

tigerbine

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RE: QR-Zerlegung
[WS] Lineare Ausgleichprobleme

16.06.2010, 09:22

mathekasper

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RE: QR-Zerlegung
alles schoen und gut, aber was sagt mir das?

Also ich habe H_1 ausgerechnet und dann H_1 * A =
-2 -5
0 0
0 0
0 -3

daraus lese ich v_2 ab: (0 0 0 -3)^T Ist das richtig so???

16.06.2010, 17:05

tigerbine

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RE: QR-Zerlegung
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1& 1 \\1 & 2 \\ 1 & 2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In einem LGS $\begin{eqnarray*} Ax=b \end{eqnarray*}$ würden an $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hier 3 Bedingungen (2Z = 3Z) gestellt. Das LGS ist überbestimmt, je nach Gestalt von b nicht lösbar. Daher landen wir bei den Ausgleichsproblemen. Der Rang von Rang(A)=n=2< 4 = m.

Um nun das anzuwenden, was man bei nxn-Matrizen machen würde, betrachten wir die reduzierte QR-Zerlegung.

$\begin{eqnarray*} A = \hat Q \cdot \hat R,~\quad \hat Q \in \mathbb R^{4\times 2},~\hat R \in \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

In dem Link ([WS] Lineare Ausgleichprobleme ff) stand ein Algorithmus (Gram Schmidt) um diese Zerlegung zu berechnen

code:

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80:
81:
82:

>> QRmitGS
Es wird eine QR-Zerlegung mitGram-Schmidt berechnet.
====================================================
 

A0 =

     1     1
     1     2
     1     2
     1     5

 
Durchgang 1
-----------

R =

     2


Q =

    0.5000
    0.5000
    0.5000
    0.5000

 
Durchgang 2 
----------------
 

R =

     2     5
     0     3


Q =

    0.5000   -0.5000
    0.5000   -0.1667
    0.5000   -0.1667
    0.5000    0.8333

 
 
Die QR-Zerlegung mit Gram-Schmidt
---------------------------------

A =

     1     1
     1     2
     1     2
     1     5


Q =

    0.5000   -0.5000
    0.5000   -0.1667
    0.5000   -0.1667
    0.5000    0.8333


R =

     2     5
     0     3

>> Q*R

ans =

     1     1
     1     2
     1     2
     1     5

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