Stetigkeit und Dichtheit

15.06.2010, 15:40

martha.1981

Stetigkeit und Dichtheit

Hallööchen, ich mal wieder

diesmal hab ich Probleme mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} f(q)=g(q) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dann gilt schon $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reell.

Mein Ansatz ist, dass ich annehme: Mit den Voraussetzungen ex. reeles $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq g(x_0) \end{eqnarray*}$ . Für dieses $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert dann ein rationales $\begin{eqnarray*} q_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d(q_0,x_0)<\delta \end{eqnarray*}$ (Wobei $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Betragsmetrik sein soll) für alle $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$ .

Ich glaub bis dahin ist es gar nicht soooo ein grober unfug.
Aber jetzt bekomme ich Kopfkrämpfe:

Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} q_0 \end{eqnarray*}$ stetig. Da $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wie oben gesagt nah daneben liegt müssen wegen der stetigkeit auch $\begin{eqnarray*} f(x_0), g(x_0) \end{eqnarray*}$ "nah" an $\begin{eqnarray*} f(q_0) \end{eqnarray*}$ liegen.

da seh ich jetzt aber den Widerspruch leider niergends auf mich zurasen.

Liebes Grüßchen,

Martha

15.06.2010, 16:39

tmo

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Der Widerspruch lässt sich so konstruieren:

Du setzt $\begin{eqnarray*} \varepsilon = |f(x_0)-g(x_0)| \end{eqnarray*}$ .

Wegen der Stetigkeit von f und g gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x_0)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(x_0)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} |x-x_0| < \delta \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt deine Aussage ins Spiel (die Dichtheit von Q in R), dass man x so wählen kann, dass x rational ist und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ erfüllt.

17.06.2010, 01:07

martha.1981

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Okay ich glaube ich verstehe das.

Der Widerspruch kommt dadurch zustande, dass wenn ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} f(x_0)\neq g(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} f(x_0)-g(x_0)\neq 0\,\Rightarrow\, \vert f(x_0)-g(x_0)\vert >0 \end{eqnarray*}$ und damit darf ich überhaupt erst $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\vert f(x_0)-g(x_0)\vert \end{eqnarray*}$ setzen.

Dann kann ich abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \vert f(q)-f(x_0)\vert +\vert g(q)-g(x_0)\vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \vert f(q)-f(x_0)\vert < \vert f(x_0)-g(x_0)\vert -\vert g(q)-g(x_0)\vert < \vert f(x_0)-g(x_0) -g(q)+g(x_0)\vert= \vert f(x_0)-f(q)\vert = \vert f(q)-f(x_0)\vert \end{eqnarray*}$

Okay, klar dass das nicht sein kann. Also kann $\begin{eqnarray*} \vert f(x_0)-g(x_0)\vert \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sein und damit nicht größer null, also gleich Null wegen Betrag. also ist $\begin{eqnarray*} f(x_0)-g(x_0)=0\Leftrightarrow f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Hab ich das richtig verstanden?

Jetzt kommt auch schon die nächts Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine in 0 stetige Funktion mit f(0)=1 und $\begin{eqnarray*} f(x+y)\leq f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann schon $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ganz R stetig ist.

Erst dachte ich, das geht schon klar, da Gruppenhomomorphismusähnliche Konstruktion. Aber da lag ich voll daneben. Ich habe nach Stundenlangen rumrechnen keinen Schimmer. Vielleicht ist ja auch einfach schon zu spät. Aber hat jemand einen kleinen Hinweis?

Danke schonmal für die gute Hilfe,

Liebes Grüßchen,

Martha

17.06.2010, 10:25

tmo

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Zitat:

Original von martha.1981
Dann kann ich abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \vert f(q)-f(x_0)\vert +\vert g(q)-g(x_0)\vert < \varepsilon \end{eqnarray*}$

In dem Moment würde ich auf der linken Seite noch $\begin{eqnarray*} f(q)=g(q) \end{eqnarray*}$ erwähnen und dann direkt den Widerspruch zur Dreiecksungleichung anmerken.

Zur neuen Aufgabe:

Zeige mal folgende Ungleichungen und überlege wie die dich weiterbringen:

$\begin{eqnarray*} f(x)-f(y)\leq f(y)(f(x-y)-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(y)-f(x)\leq f(x)(f(y-x)-1) \end{eqnarray*}$

17.06.2010, 12:29

martha.1981

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Ui, da hätt ich mal wieder einiges an Rechenaufwand gespart, würd ich doch nur mal richtig hingucken. Da steht ja schon die Dreiecksungleichung falschherum. unglücklich

Zur zweiten aufgabe, ja die Ungleichungen kann ich zeigen, das war kein Problem. Allerdings hilft mir grad nur die obere, denn wenn ich alles richtig verstanden habe, kann ich mit den Voraussetzungen und dem epsilon-delta Kriterium gilt das auch für ein beliebiges festes relles $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \forall\frac{\varepsilon}{\vert f(x_0)\vert} >0 \exists \delta >0 \forall x, \vert (x-x_0)\vert <\delta : \vert f(x-x_0)-1\vert <\frac{\varepsilon}{\vert f(x_0)\vert} \end{eqnarray*}$

oder ist das schon quatsch, glaub nicht oder?

denn dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x_0)\leq\vert f(x_0 +x-x_0)-f(x_0)\vert\leq\vert f(x_0)f(x-x_0)-f(x_0)\vert = \vert f(x_0)\vert\cdot\vert f(x-x_0)-1\vert <\varepsilon \end{eqnarray*}$

Könnte ich jetzt noch - was ich nicht kann - $\begin{eqnarray*} f(x_0)-f(x)< \varepsilon \end{eqnarray*}$ zeigen, so wäre $\begin{eqnarray*} \vert f(x)-f(x_0)\vert <\varepsilon \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen ist und wofür ich sicher die zweite deiner beiden Ungleichungen brauche. Aber ich kann das laufende $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ja nicht bei der Umformung verwenden. Was kann ich tun?

Grüßle,

Martha

17.06.2010, 12:44

tmo

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Für den letzten Schritt musst du ausnutzen (also erstmal zeigen), dass f lokal beschränkt ist, also dass man zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U_h(x) = \{y \in \mathbb R | |x-y|<h \} \end{eqnarray*}$ angeben kann, sodass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U_h(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

Nehmen wir mal an, dass wäre schon gezeigt und sei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig.

Dann wähle h so, dass f auf $\begin{eqnarray*} U_h(x) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und setze $\begin{eqnarray*} S := \sup_{x \in U_h(x_0)} |f(x)| \end{eqnarray*}$

Nun sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |f(x)-1|<\frac{\varepsilon}{S} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|<\delta_1 \end{eqnarray*}$ gilt (Stetigkeit in 0)

Nun wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \min (\delta_1,h) \end{eqnarray*}$ und schau mal was für $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt.

23.07.2010, 15:59

martha.1981

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Ich habe nochmal einen anderen Lösungsweg, zu der ersten Aufgabe:

Q dicht in R, also $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0, x\in\mathbb{R} \exists q\in\mathbb{Q}: |x-q|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ , wenn ich das richtig sehe, kann ich dann mit q's aus den epsilon-kugeln um ein beliebig gewähltes $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Folge schustern, die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ geht.

Da f,g stetig sind, ist $\begin{eqnarray*} \lim_{q\to x_0} f(q)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{q\to x_0} g(q)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} f(q)=g(q) \end{eqnarray*}$ folgt direkt $\begin{eqnarray*} \lim_{q\to x_0} g(q)=\lim_{q\to x_0} f(q) \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} f(x_0)=g(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Ist das korrekt herausgearbeitet?

Liebes Grüßchen,

Matha

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