bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilung

15.06.2010, 17:32

excel-niete10

bedingte Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilung

Hallo,
meine Aufgabe lautet:

Sei M eine nichtleere Teilmenge eines Ergebnisraumes Omega und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Omega. Zeigen sie, das durch die Abbildung

$\begin{eqnarray*} P_{M} : A \Rightarrow P_{M} (A) \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \frac{P(A\cap M)}{P(M)} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A \subseteq \end{eqnarray*}$

eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Omega defiiert wird.

Das kann ich ja auseinanderziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{P_{(M)} (A) \cdot P(M)} {P(A\cap M)+P(A\cap nichtM)} \end{eqnarray*}$

aber kann ich daraus die lösung erkennen?

15.06.2010, 20:30

BarneyG.

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Hallo,

Zitat:

Das kann ich ja auseinanderziehen:

nö, deine Gleichung weist mehrere Fehler auf!

Erstens tritt auf der rechten Seite der Term

$\begin{eqnarray*} P_M (A) \end{eqnarray*}$

auf ... und der soll doch gerade definiert werden. Darf man auf der rechten Seite der Definition den zu definierenden Term verwenden! Klares nein!

Außerdem ist der Nenner falsch ... aber das sei nur noch am Rande erwähnt! Big Laugh

Bleiben wir also bei dem Term

$\begin{eqnarray*} P_M (A) = \frac{ P(A \cap M)}{P(M)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich deine Aufgabe in den richtigen Kontext einordne, dann müssen wir doch jetzt die von Kolmogorow geforderten Eigenschaften nachweisen.

Also, dass P(A|M) >= 0 ist, das ist nicht schwer.

Auch, dass P(OMEGA|M) = 1 ist, das sollte zu schaffen sein.

Und jetzt bleibt noch zu zeigen:

Wenn A1 und A2 disjunkt sind, dann gilt

$\begin{eqnarray*} P_M (A1 \cup A2) = P_M (A1) + P_M(A2) \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt nicht mehr ganz so trivial ... aber schließlich sollst du ja auch noch ein bissel was zu tun haben ... Big Laugh

Grüße

16.06.2010, 10:49

excel-niete10

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Kolmo.. wer? von dem wurde in der Vorlesung noch nie etwas gesagt...

was ist am Nenner falsch? Ich habe nämlich noch andere Aufgaben, bei denen ich alles auflösen muss.

16.06.2010, 11:05

BarneyG.

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Zitat:

was ist am Nenner falsch?

Im Nennen hast du P(A) aufgespalten und nicht P(M). Guck dir noch mal den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit an. Big Laugh

Wie habt ihr denn in der Vorlesung den Begriff "Wahrscheinlichkeitsverteilung" definiert? Schau mal in deinem Skript nach! Diese Eigenschaften musst du für P(A|M) nachweisen.

Grüße

16.06.2010, 11:16

excel-niete10

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ah, da steht ja sogar der Name Kolmogorow in der Definition! ^^

kannst du mir bitte zeigen wie man das nach P(M) auflöst? Ich weiß nicht wie!

Danke das du mir die Axiome aufgezählt hast, im Skript stehen die nämlich nicht.

In der Def. steht das P(M)> 0 ist.

16.06.2010, 13:16

BarneyG.

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Zitat:

ah, da steht ja sogar der Name Kolmogorow in der Definition!

Na, so ein Zufall! Und das, wo der Begriff "Kolmo.... wer?" noch nie in der Vorlesung erwähnt wurde! Big Laugh

Dass P(M) > 0 verlangt wird, ist gar nicht so schlecht. Sonst wäre das nämlich keine ganz so gute Idee durch P(M) zu dividieren! Big Laugh

Zitat:

kannst du mir bitte zeigen wie man das nach P(M) auflöst?

Ich nehme an, du meinst damit, wie du P(M) im Nenner aufspalten kannst. Also, dann werden wir jetzt den Ausdruck P(M) mal ordentlich aufteilen:

$\begin{eqnarray*} P(M) = P(A \cap M) + P(nicht A \cap M) \end{eqnarray*}$

Dieser Spezialfall der Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit zerteilt M in den Teil der zu A gehört und den Teil der nicht zu A gehört. Beide Teile sind disjunkt und ergeben zusammen M.

Na, jetzt alles klar! Und das nächste Mal passt du in der Vorlesung auf, damit dir ein Name wie Kolmogorow nicht durch Lappen geht ... Big Laugh

Grüße

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