Taylor Polynom

15.06.2010, 18:47

Cicinho

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Taylor Polynom

Guten abend
meine frage bezieht dich auf eine aufgabe von der ich grad nicht durchblicke.
Ich soll eine Funktion un ein taylor polynom bis zur 2.ten Ordnung um den entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2*e^{x^2} \end{eqnarray*}$
das heisst doch das die funktion an denn entwicklungspunkt angenähert werden muss.
das taylor polynom soll sie leichter darstellen.

Auf Hilfen und Tipps wäre ich sehr erfreut.

15.06.2010, 18:52

Equester

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Wenn ich dir "Ableitung" an den Kopf werfe, hilft dir das dann weiter?

15.06.2010, 19:01

Cicinho

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ja.die fkt. nach x ableiten?

15.06.2010, 19:11

Equester

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Sagt dir das auch was im Bezug auf Taylor?

Eine Taylorentwicklung wird mit den Ableitungen gemacht?!!

15.06.2010, 19:21

Cicinho

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Ich weiss nicht genau. Im Buch steht eine Formel
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0)*+\frac{f''(x_0}{2!} .... \end{eqnarray*}$
ist das die richtige?

15.06.2010, 19:24

Equester

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Zitat:

Original von Cicinho
Ich weiss nicht genau. Im Buch steht eine Formel
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0)*+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)² .... \end{eqnarray*}$
ist das die richtige?

Yep das ist die richtige Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und jetzt machst du genau was dran steht xD
Ableitungen und so weiter...

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15.06.2010, 19:35

Cicinho

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für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ setze ich 1 ein?
für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ imer die abgeleitetet fkt?
und für x?
und das alles bis zur 2.ableitung?

15.06.2010, 19:46

Equester

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Zitat:

für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ setze ich 1 ein?

Ja das passt so

Zitat:

für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ imer die abgeleitetet fkt?

wie meinst du das? Du hast doch f(x) deine Grundgleichung...die leitest du
jetzt mehrfach ab -> Dann setzt du dein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ein

Zitat:

und für x?

Das bleibt wie es ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

und das alles bis zur 2.ableitung?

Yep

Freude

15.06.2010, 20:07

Cicinho

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$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2*e^{x^2}+\frac{6x*e^{x^2}+3x^2+2xe^{x^2}}{1!} *(x-1)+\frac{6*2xe^{x^2}+6x*4xe^{x^2}}{2!} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

ob das jetzt stimmt weiss ich nicht. ich hoffe das der ansatz richtig ist.

15.06.2010, 20:19

Equester

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Zitat:

Original von Cicinho
$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2*e^{x^2}+\frac{6x*e^{x^2}+3x^2+2xe^{x^2}}{1!} *(x-1)+\frac{6*2xe^{x^2}+6x*4xe^{x^2}}{2!} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

ob das jetzt stimmt weiss ich nicht. ich hoffe das der ansatz richtig ist.

Beim ersten hast du ausversehen (?) ein * und ein + vertauscht...
es muss so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{6x*e^{x^2}+3x^2*2xe^{x^2}}{1!} *(x-1) \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung kann ich gar nicht nachvollziehen und würde sogar
behaupten sie ist falsch (warum hast du hier keine Produktregel angewendet, wie
bei der ersten Ableitung?)

Alle x'en die bei dir auf dem Bruch stehen, sind eigentlich $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .
Du kannst sie also alle als 1 ersetzen! (Bitte aber erst mal noch nicht...möchte
erst deine Ableitungen sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

15.06.2010, 20:31

Cicinho

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ja, ich bin mir nicht sicher mit was ich die 2te ableitung multiplizieren soll. mit der stammfunktion?

$\begin{eqnarray*} f(x)3x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=6x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2xe^{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4xe^{x^2} \end{eqnarray*}$

15.06.2010, 20:47

Equester

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Ganz so, kannst du es nicht machen...eher so:

$\begin{eqnarray*} f(x)'=(3x^{2} *e^{x^{2}})' = 6x* e^{x^{2}}+3x^{2}*2x*e^{x^{2}} = 6x*e^{x^{2}}+6x^{3}*e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)'' = (6x*e^{x^{2}}+6x^{3}*e^{x^{2}})'= 6*e^{x^{2}}+6x*2x*e^{x^{2}}+18x^{2}*e^{x^{2}}+6x^{3}*2x*e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$
= Zusammenfassen!

Schlag in deinem Buch nochmals die Produktregel nach! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da nun überall für das x eine 1 einsetzen...dann bist du fast fertig^^

15.06.2010, 21:56

Cicinho

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zusammengefasst $\begin{eqnarray*} e^{x^2} (6+14x+18x^2+6x^3) \end{eqnarray*}$
Kannst du mir vlt sagen ob das stimmt.
Danach für die ganze reihe x_0=1 setzen.

16.06.2010, 14:56

paul88

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{6x*e^{x^2}+3x^2*2x*e^{x^2}}{1!} *(x-1)+\frac{e^{x^2}(6+14x+18x^2+6x^3)}{2!}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

ich hab das jetzt so hingeschrieben,kannst du evtl drüberschauen.
was ich nicht ganz verstanden habe ist ob ich für jedes x eine 1 einsetzte oder nur für die in der klammern nach dem bruch? wieso sind denn alle x auch x_o?

16.06.2010, 18:33

Equester

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Wie kommst du auf den Zähler vom letzten Bruch?
Der ist falsch zusammengefasst...
in der Klammer steht nur noch (6+6x*2x+18x²+6x³*2x)!
Fasse das nochmals richtig zusammen!

Hmm...es heißt doch in deiner Formel überall f(xo)...und du weisst, dass
x0=1 ist! Also musst du überall deine x'en durch eine 1 ersetzen (außer dem,
das noch in der Klammer ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

16.06.2010, 18:58

Cicinho

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(6x*e^{x^2}+3x^2*2x*e^{x^2})}{1!} +\frac{e^{x^2}(6+12x+18x²+6x³*2x)}{2!} \end{eqnarray*}$
ich mache es mal schritt für schritt.. $\begin{eqnarray*} e^{x^2} \end{eqnarray*}$ ist =2,71

16.06.2010, 19:54

Equester

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Nein eigentlich müsste es so aussehen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{6x*e^{x^2}+3x^2*2x*e^{x^2}}{1!} *(x-1)+\frac{e^{x^2}(6+30x^2+12x^{4})}{2!}(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

Schaus dir nochmals an!

Warum hast du die Klammern weggelassen? (x-1) und (x-1)²?
Des haste doch sonst au immer dabeigehabt!^^

$\begin{eqnarray*} e^{x^{2}} \end{eqnarray*}$ lässt du am besten als e stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Edit: Verbesserung im Zähler des zweiten Bruches)

16.06.2010, 20:05

Cicinho

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ich habe in der klammer (1-1) =0 gesetzt, weil du meintest das das x=1 ist.

16.06.2010, 20:14

Cicinho

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sorry die blöde frage aber wie bist du auf $\begin{eqnarray*} 6x^4 \end{eqnarray*}$ gekommen?im letzten bruch die zusammenfassung.

16.06.2010, 20:21

Equester

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Gute Frage! xD
Es ist $\begin{eqnarray*} 12x^{4} \end{eqnarray*}$ .
Das zeigt mir, dass dus immerhin nachvollziehen konntest?

Hmm ich sagte alle x'en werden 1...außer das x, dass du 1 gesetzt hast^^
Also (x-1) bleibt genau so stehen, aber alle andere x'en werden 1 (siehe
die von dir aufgestellte Formel!)

Übrigens...was ist (1-1)?!!!

16.06.2010, 20:47

Cicinho

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(6*e^{1}+3^2*2*e^{1})}{1!} *(x-1)+\frac{e^{1}(6+30^2+12^4)}{2!} *(x-1)^2 \end{eqnarray*}$

ich habs so versucht

16.06.2010, 20:54

Equester

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So bin ich einverstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jetzt nur noch auflösen! smile

smile

(Und dann hoffe ich, nichts falsches erzählt zu haben xD)

16.06.2010, 21:01

paul88

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also jetzt nur denn ersten bruch e^1 ausklammern, oder was genau noch?

16.06.2010, 21:14

Cicinho

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das f(x_0) muss doch noch ganz vorne vor denn brüchen stehen?
wie bei der Ausgangsformel?

16.06.2010, 21:22

Equester

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Sry, hatte nicht registriert, dass du wieder geantwortet hattest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also so lautet doch die Formel von dir?!

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0)*+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)² .... \end{eqnarray*}$

Dann hast du doch jetzt immer die Ableitung gebildet gehabt.

Die setzt du nun in der Gleichung ein. (Was du bereits gemacht hast!) Dabei setzt
du jetzt alles x_0 als 1!
(Vergiss den ersten Term nicht, den wir bisher die ganze Zeit weggelassen hatten!)

16.06.2010, 21:32

Cicinho

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$\begin{eqnarray*} f(x)=3x^2*e^{x^2}+\frac{(6x*e^{x^2}+3x^2*2x*e^{x^2})}{1!} *(x-1)+\frac{e^{x^2}(6+30x^2+12x^4)}{2!} *(x-1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=3^2*e^{1}+\frac{(6*e^{1}+3^2*2*e^{1})}{1!} *(x-1)+\frac{e^{1}(6+30^2+12^4)}{2!} *(x-1)^2<br /> \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 21:39

Equester

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Soweit ich das sehe, ja!
Jetzt noch alle Klammern zusammenfassen.
Dann hast du

9e+?e(x-1)+?e(x-1)²

Das dann noch ausmultiplizieren und fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2010, 22:18

Cicinho

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was genau stellt das '?' dar was du hingeschrieben hast?

16.06.2010, 22:27

Equester

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Ich wollte dir noch was zum Zusammenfassengeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dies ist der ganze Bruch, wobei ich das e schon ausgeklammert habe.
Also nur noch die Zahlen und die Fakultät vom Bruch!

17.06.2010, 08:53

Cicinho

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$\begin{eqnarray*} 33e(x-1)+e(x-1)² \end{eqnarray*}$

am ende krieg ich irgendwas mit 10000 bei der zusammenfassung der zahlen raus, wo das ? noch steht!

17.06.2010, 21:05

Equester

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Wie meinst du das? So hoch? woher?

Du musst noch ausklammern!
Am Ende steht da:

f(x)=a+bx+cx²+...

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