Hauptsatz Diff-Integral-Rechnung + Ungleichung

15.06.2010, 19:06

Physinetz

Hauptsatz Diff-Integral-Rechnung + Ungleichung

Servus miteinander,

ich soll zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ die folgende Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} ln(1+x)\geq \frac{3}{2} \frac{x*(x+6)}{(x+3)²} \end{eqnarray*}$

Dabei soll ich die Ableitung der linken und rechten Seite beachten, und den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung nutzen.

Also differenziert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \geq \frac{27}{(x+3)³} \end{eqnarray*}$

Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt ja F'(x)=f(x)

Nun weiß ich aber nicht wirklich was ich hier damit anfangen soll? Die Ungleichung erstmal umformen (alles auf eine Seite bringen?) und dann wieder integrieren?

Habe zu Ungleichungen und Hauptsatz der (...) nichts gefunden im Internet...ist die Ungleichung immer noch erfüllt wenn man differenziert und integriert?

Vielleicht hat mir ja jemand ein paar Tipps...

Gruß Physinetz

15.06.2010, 19:09

Leopold

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RE: Hauptsatz Diff-Integral-Rechnung + Ungleichung

Zitat:

Original von Physinetz
Also differenziert ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \geq \frac{27}{(x+3)³} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell gilt: Ungleichungen kann man nicht differenzieren!

$\begin{eqnarray*} 1000 + x \geq 3x \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq x \leq 0{,}123456789 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq 3 \end{eqnarray*}$

unglücklich

Im übrigen fängt man einen Beweis nicht mit der Behauptung an.

15.06.2010, 19:32

Physinetz

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hast du mir dann einen anderen Tipp was die Aufgabensteller dann von mir wollen?

15.06.2010, 19:35

Leopold

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Differenzfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \ln(1+x) - \frac{3x(x+6)}{2(x+3)^2} \, , \ \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Zeige: $\begin{eqnarray*} F(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ .
Warum folgt die Behauptung?

15.06.2010, 20:24

Physinetz

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wenn $\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F'(x)>0 \end{eqnarray*}$ für x>0 ist, dann nimmt die Funktion F(x) nur positive Werte für x>0 an, der Flächeninhalt unter der Kurve ist immer positiv und somit immer größer 0, also F(x)>0 für x>0

Stimmt das?

17.06.2010, 22:29

Purpleyeahh

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Nur mal so als Anmerkung, weiß ja nicht ob ich zu "einfach" gedacht hab als ich die Aufgabe gerechnet hab. Augenzwinkern

Aber:

wenn $\begin{eqnarray*} F(x) = ln(x+1) \geq G(x) = \frac{3x(x+6)}{2(x+3)²} \end{eqnarray*}$

Hier noch graphisch:

[attach]15234[/attach]

Dann müsste doch

$\begin{eqnarray*} F'(x) = f(x) = \frac{1}{1+x} \geq G'(x) = g(x) = (\frac{3}{(x+3)} )³ \end{eqnarray*}$

auch erfüllt sein.

Und hier verwendet man doch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, oder?

Hier noch graphisch:

[attach]15235[/attach]

Kein Plan ob das so stimmt aber dachte ich teil dir mal meinen Gedankengang zu der Aufgabe mit.

Gruß R.

18.06.2010, 08:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} F(x) = 1 - \operatorname{e}^{-x} \, , \ \ G(x) = \frac{x}{x+1} \ \ \mbox{für} \ \ x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Oder viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 \, , \ \ G(x) = x^3 \ \ \mbox{für} \ \ 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$

Im übrigen: Von wo nach wo geht die Schlußrichtung (Voraussetzung/Behauptung) bei dieser Aufgabe?

19.06.2010, 20:00

metabryer

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Es ist ziemlich wahrscheinlich die Sache mit der Differenzenfunktion gemeint...

19.06.2010, 20:46

metabryer

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Und sie funktioniert auch hier sehr gut wenn man es ein wenig begründet.

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