Extrema unter Nebenbedingungen

15.06.2010, 19:41

kleenes annilein

Extrema unter Nebenbedingungen

Hallo!!
Ich bin grade total überfordert. Erst mal die Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} f(x,y)=4x^{2} -3xy \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K:=\left\{ (x,y)\in \mathbb R ^{2}: x^{2} +y^{2}\leq 1 \right\} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Extremstellen von f in K.

Da ich den Satz über die Lagrange-Multiplikatoren im Moment überhaupt gar nicht verstehe (wie leider auch so fast alles andere in Ana2, seid also bitte nett zu mir, wenn ich eure Hilfe nicht ganz so schnell verstehe), habe ich die "Strategie", die im Tutorium angesprochen wurde, angewandt, auch wenn ich mir nicht sicher bin, dabei zum Ziel zu kommen: einfach die Extrema von f berechnen und dann prüfen, ob sie die Bedingungen von K erfüllen.
Bisher habe ich folgendes:

Die ersten partiellen Ableitungen: $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 8x^{2} -3y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = -3x \end{eqnarray*}$
Diese habe ich gleich 0 gesetzt und erhalte
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 0 -> x= \pm \sqrt{\frac{3y}{8} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} =0 -> x=0 \end{eqnarray*}$
was ich schon komisch finde, da ich ja keine Bedingung für y habe, die zum Verschwinden der Ableitung führt, aber nun gut.
Da Dachte ich mir, die kritischen Stellen, an denen ein Extrema sein könnte, sind dann wohl:
$\begin{eqnarray*} ( \sqrt{\frac{3y}{8} } , y) , (- \sqrt{\frac{3y}{8} } , y) , (0,y) \end{eqnarray*}$
Über die Hesse-Matrix
$\begin{eqnarray*} Hess_f (x, y)=\begin{pmatrix} 16x & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bzw. ihre Determinante
$\begin{eqnarray*} det(Hess_f(x,y))=16x\cdot 0-(-3)\cdot (-3)=-9 \end{eqnarray*}$
wollte ich dann ganz gerne herausfinden, ob die kritischen Stellen Extrema sind und vor allem, ob sie Maxima oder Minima sind. Ich finde aber zum verrecken keine hilfreichen Informationen, wie ich Definitheit der Hesse-Matrix bestimme, nicht in den Vorlesungsunterlagen, nicht hier im Board, nicht über Wiki oder eine Google-Suche. Es ist echt zum Verzweifeln. Auch in Lineare Algebra sind wir noch nicht so weit.
Deshalb meine Fragen:
-Ist mein Lösungsweg zur Extrema-Bestimmung unter Nebenbedingungen einer der richtigen??
-Und kann ich nicht einfach sagen, dass, wenn det(Hess_f)<=0, dann ist Hess_f negativ definit???

15.06.2010, 19:52

tigerbine

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NUR Rückfrage
Willkommen

Hast du dir die zulässige Menge K mal aufgemalt?

Zitat:

habe ich die "Strategie", die im Tutorium angesprochen wurde, angewandt, auch wenn ich mir nicht sicher bin, dabei zum Ziel zu kommen: einfach die Extrema von f berechnen und dann prüfen, ob sie die Bedingungen von K erfüllen.

Das kann nicht die Strategie sein, da wir ein restringiertes Problem haben. Wo werden da die Randwerte geprüft?

Lagrange wundert mich gerade, da hier Ungleichheitsrestriktionen vorliegen. Diese Multiplikatoren treten aber auch bei KKT-Punkten auf. Vielleicht habt ihr die behandelt? Vielleicht nennst du mal im O-Ton den Satz, der dir zur Verfügung steht. Dann wird es einfacher mit dem Helfen.

Hast du ggf. ein Programm, maple, matab... mit dem du dir solche Aufgaben mal veranschaulichen kannst?

Gruß Wink

15.06.2010, 20:16

kleenes annilein

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RE: NUR Rückfrage

Zitat:

Original von tigerbine

Hast du dir die zulässige Menge K mal aufgemalt?

Das ist der Einheitskreis, das ist noch klar. Sollte ich mir darüber im Klaren sein, um die Aufgabe bearbeiten zu können?

Zitat:

Das kann nicht die Strategie sein, da wir ein restringiertes Problem haben. Wo werden da die Randwerte geprüft?

Ganz blöd gefragt: Was ist ein restringiertes Problem?

Zitat:

Lagrange wundert mich gerade, da hier Ungleichheitsrestriktionen vorliegen. Diese Multiplikatoren treten aber auch bei KKT-Punkten auf. Vielleicht habt ihr die behandelt? Vielleicht nennst du mal im O-Ton den Satz, der dir zur Verfügung steht. Dann wird es einfacher mit dem Helfen.

KKT-Punkte kenne ich nicht. Im Tutorium haben wir mit dem Satz "Lagrange-Multiplikatoren" (so hieß er auch in der Vorlesung) gearbeitet, sind aber mit dem Beispiel nicht fertig geworden. Den Satz versteh ich nicht, keine Ahnung, was er mir sagen will.
Hier der Satz:
Sei $\begin{eqnarray*} \omega\subset \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} F:\omega->\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig diffbar, $\begin{eqnarray*} g:\omega->\subset\mathbb R ^{l}, l<n \end{eqnarray*}$ stetig diffbar, $\begin{eqnarray*} x\in \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} rang(Jacobimatrix von g(x))=l \end{eqnarray*}$ , so gilt:
Ist x relatives Extremum von f unter der Nebenbedingung g=0, so gibt es Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda _1,...,\lambda _l\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Gradient(f(x))=\sum\limits_{j=1}^l \lambda _j\cdot Gradient(g_j(x)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Hast du ggf. ein Programm, maple, matab... mit dem du dir solche Aufgaben mal veranschaulichen kannst?

nein, leider nicht.

15.06.2010, 20:26

tigerbine

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RE: NUR Rückfrage

Zitat:

Original von kleenes annilein
Das ist der Einheitskreis, das ist noch klar. Sollte ich mir darüber im Klaren sein, um die Aufgabe bearbeiten zu können?

Wenn man Probleme mit was hat, ist es doch gut, wenn man mal eine Skizze machen kann. Augenzwinkern

Da wir IR² -> IR abbilden, ist das hifreich. Zumal ist der Kreis ja eine konvexe Menge. Das kann auch mal wichtig sein. Augenzwinkern

Zitat:

Ganz blöd gefragt: Was ist ein restringiertes Problem?

So nennt man das, wenn es Nebenbedingungen gibt. Augenzwinkern

Anonsten unrestringiert. Mit google: restringiert Optimierung findest du Skripte oder entsprechende Sätze für solche Probleme. Augenzwinkern

Bitte Beitrag noch lesbar editieren, was den Satz angeht. Boardsuche zum Thema.
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
http://www.dmg.tuwien.ac.at/grohs/lva/lagrange.pdf

Da sind auch Beispiele im PDF. Vielleicht kommst du da schon weiter mit. Ich guck nun Fußi. Wenn jemand "sich einwechseln" will, nur zu. Wink

edit

Zitat:

Ist x relatives Extremum von f unter der Nebenbedingung g=0

Das meinte ich (wegen KKT). Du hast ja in der Nebenbedingung Ungleichungen.

15.06.2010, 22:44

system-agent

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RE: NUR Rückfrage

Zitat:

Original von tigerbine
Das meinte ich (wegen KKT). Du hast ja in der Nebenbedingung Ungleichungen.

Na und? Man kann doch zuerst alle Extrema bestimmen die Innerhalb des Einheitskreises liegen und sich dann überlegen welche es auf dem Rand geben kann, hier hilft wieder Lagrange mit der Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ .

15.06.2010, 23:43

tigerbine

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RE: NUR Rückfrage
Stimmt. Ich sehe wohl im Moment überall KKTs. Augenzwinkern

Ich würde mir aber die partiellen Ableitung in post 1 nochmal anschauen. Gerade die nach x.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=4x^{2} -3xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)= \begin{pmatrix} 8x - 3y \\ -3x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Im unrestringierten Fall, also ohne NB, muss dann notwendigerweise gelten $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)= \begin{pmatrix} 0 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da sehe ich nur eine Lösung für. Augenzwinkern

Die Hessematrix lautet

$\begin{eqnarray*} H_f(x,y)= \begin{pmatrix} 8 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Matrix ist (immer) symmetrisch. Daher kann man über die Eigenwerte etwas über ihre Definitheit aussagen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit...it_von_Matrizen
http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Eigenwerte

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