Masse einer Oberfläche

15.06.2010, 20:12

Bend123

Masse einer Oberfläche

Hey,

ich habe leider noch nicht so die Routine, was Oberflächenintegrale angeht. Z.b. bei dieser AUfgabe:

Gesucht ist die Masse der Oberfläche
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=R^2<br /> z>=0 \end{eqnarray*}$ , die folgende Dichte besitzt: $\begin{eqnarray*} \rho=\rho_0 \arccos(\frac z R) \end{eqnarray*}$

Also Quasi die Dichte über eine Halbkugeloberfläche Integrieren.

Mein größtes Problem ist eigentlich die Fläche vektoriell zu beschreiben. Da weiß ich leider überhaupt nicht, wie man das macht. Der Rest ist eigentlich Klar. Ich würde dann einfach mit Kugelloordinaten arbeiten beim Integrieren.

Viele Grüße

24.06.2010, 03:10

haffael

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Masse einer Oberfläche

Zitat:

Original von Bend123
Gesucht ist die Masse der Oberfläche
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2=R^2<br /> z>=0 \end{eqnarray*}$ , die folgende Dichte besitzt: $\begin{eqnarray*} \rho=\rho_0 \arccos(\frac z R) \end{eqnarray*}$

Daran sitze ich auch gerade.. bin soweit dass ich das skalare Flächenelement raus habe:

$\begin{eqnarray*} \left| \vec r_x \times \vec r_y \right| \dd x \; \dd y= \sqrt{\frac{x^2+y^2}{R^2-(x^2+y^2)} +1} \; \dd x \, \dd y \end{eqnarray*}$
da erschien es mir günstig, polarkoordinaten zu nehmen

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac{r^2}{R^2-r^2}} \, r \, \dd r \, \dd \varphi \end{eqnarray*}$

aber das zu integrieren, noch dazu mit dem arccos von der Dichte, übersteigt irgendwie meine Fähigkeiten..

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^{2\pi} \int_0^R \rho_0 \arccos \left(\sqrt{1-\frac{r}{R}}\right) \cdot\sqrt{\frac{r^2}{R^2-r^2}} \; r \, \dd r \, \dd \varphi \end{eqnarray*}$

Wo ist der Trick, kann mir da kurz jemand draufhelfen?

In der Lösung steht auch garkeine arcsin/arccos/... mehr drinnen, kann man bestimmt durch geometrische Überlegungen wegbringen (mit phi beschreiben oder so), aber ich komm echt nicht drauf.
Die Lösung ist ganz einfach $\begin{eqnarray*} \, 2 \pi R^2 \rho_0 \end{eqnarray*}$

grüße

24.06.2010, 11:24

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche stellt man in Kugelkoordinaten wie folgt dar (das sollte man auswendig wissen):

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} R\cdot \cos(\phi)\cdot \sin(\theta) \\ R\cdot \sin(\phi)\cdot \sin(\theta) \\ R\cdot \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Funktionaldeterminante lautet

$\begin{eqnarray*} |\vec {x_{\phi}} \times \vec {x_{\theta}}|=R^2\sin(\theta) \end{eqnarray*}$

Zu bestimmen ist die Masse der halben Kugelfläche, also das Integral

$\begin{eqnarray*} m=\int_{R=0}^{R} \int_{\phi=0}^{360°} \int_{\theta=0}^{90°}\! \rho(R, \phi, \theta) \cdot R^2sin(\theta)\, \,\,\,d\theta d\phi dR \end{eqnarray*}$

Die Dichte sieht nur auf den 1.Blick komliziert aus. Man kann sie stark vereinfachen, denn - wie man anhand der obigen Kugelkoordinaten leicht sieht - gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{R}=\cos(\theta) \end{eqnarray*}$ .

Dies setzen wir in die Dichte ein und erhalten

$\begin{eqnarray*} \rho=\rho_0\arccos \left ( \frac{z}{R}\right )=\rho_0\arccos (\cos(\theta))=\rho_0 \cdot \theta \end{eqnarray*}$

Setzt man diese einfache Dichte in das obige Integral ein, ergibt sich

$\begin{eqnarray*} m=\rho_0\cdot \int_{R=0}^{R} \int_{\phi=0}^{360°} \int_{theta=0}^{90°}\! \theta \cdot R^2sin(\theta)\, \,\,\,d\theta d\phi dR \end{eqnarray*}$

Das solltest du abintegrieren können - mittels partieller Integration über $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ .

24.06.2010, 16:00

haffael

Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt logisch.
Ich hatte nur von vornherein ausgeschlossen, Kugelkoordinaten zu nehmen, weil ich darauf versteift war, eine Oberfläche müsste man auf jeden Fall mit einem Doppelintegral berechnen..
Danke

25.06.2010, 08:41

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, du hast ja recht. Ich habe die Masse der 3D-Halbkugel berechnet. Gefragt war aber nur die Masse der 2D-Oberfläche der Halbkugel. Du musst also das Intergral über R weglassen. Der Rest ist ok.

Neue Frage »

Antworten »

Masse einer Oberfläche

Verwandte Themen