Absolut stetige Maße

16.06.2010, 11:03	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolut stetige Maße Hallo, ich komme bei einer Stochastik-Aufgabe nicht weiter. $\begin{eqnarray} (\Omega, R, \mu) \end{eqnarray}$ sei ein Maßraum und $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ sei absolut stetig bzgl. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (\Omega, R) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ein Träger von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ein Träger von $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \nu(T\setminus S)=0 \end{eqnarray}$ Der Träger ist bei uns so definiert: $\begin{eqnarray} T\in R \end{eqnarray}$ heisst Träger von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , wenn für alle $\begin{eqnarray} A\in R, \ A \subset T^C \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \mu (A)=0 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ als absolut stetiges Maß bzgl. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ vorausgesetzt ist, weiß ich (nach Def. der absoluten Stetigkeit), dass für alle $\begin{eqnarray} A\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \nu(A)<\infty \end{eqnarray}$ gilt : $\begin{eqnarray} \lim_{\delta \to 0} \ \sup_{B \in R, B \subset A \atop \mu(B)<\delta} \nu(B) =0 \end{eqnarray}$ Als Lemma hatten wir dann: Ist $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ absolut stetig bzgl. $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ , so gilt für alle $\begin{eqnarray} A \in R \end{eqnarray}$ die Implikation: $\begin{eqnarray} \mu(A)=0\ \Rightarrow\ \nu(A)=0 \end{eqnarray}$ Also, könnte ich ja so vorgehen, dass ich zeige $\begin{eqnarray} \mu(T\setminus S)=0 \end{eqnarray}$ und dann würde die Behauptung folgen. Aber ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich das zeigen soll... Von daher würde ich mich auf eure Hilfe freuen :-) Ciao, Kerstin
16.06.2010, 21:28	karlheinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Kerstin, ist $\begin{eqnarray} T \backslash S \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ oder nicht? Und was bedeutet das für $\begin{eqnarray} \mu(T\backslash S) \end{eqnarray}$ ? LG KH
16.06.2010, 22:18	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Karl-Heinz, danke für den Tipp. Ich bin jetzt auf Folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ muss eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ sein, ansonsten wähle eine Menge $\begin{eqnarray} A \in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \subset T\setminus S \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \nu(A)\neq 0 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \mu(A)=0 \end{eqnarray}$ , was ein Widerspruch wäre. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} T \setminus S = \emptyset \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} \mu(\emptyset)=0 \end{eqnarray}$ folgt die Behauptung. Ist alles richtig, oder? Ciao, Kerstin
17.06.2010, 09:17	karlheinz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kerstin, ja das sieht gut aus. Ich wollte es mir ein bisschen einfacher machen und wollte darauf hinaus: (Da $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ sigma Algebra ist, gilt: $\begin{eqnarray} T\backslash S \in R \end{eqnarray}$ .) $\begin{eqnarray} T\backslash S \end{eqnarray}$ ist keine Teilmenge von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , sondern $\begin{eqnarray} T\backslash S \subset S^c \end{eqnarray}$ . Nach Definition des Trägers ist nun $\begin{eqnarray} \mu(T\backslash S)=0 \end{eqnarray}$ . LG KH

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