Orthonormalbasis im euklidischen VR

16.06.2010, 11:56

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Orthonormalbasis im euklidischen VR

Hi,

hier rätsele ich auch dran, ohne dass mir die passende Idee einfällt unglücklich

unglücklich

Sei V ein endlich-dimensionaler euklidischer C-VR und $\begin{eqnarray*} \left\{v_1,...v_n\right\} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis von V.
a) Sei f: V -> C eine lineare Abbildung. Zeige: Es gibt genau ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <v,w> = f(v)\forall v \in V \end{eqnarray*}$
b) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in V \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} <x,y> = \sum\limits_{k=1}^n <x,v_k> <y,v_k> \end{eqnarray*}$ (Das <y,v_k> soll dabei komplex konjugiert sein, ich weiß nicht wie ich das hier mit Formeln kenntlich machen kann, sorry)

Bei a) habe ich keine Idee, wie ich anfangen soll...
bei b) weiß ich nur, dass $\begin{eqnarray*} <x,y> = \sum\limits_{k=1}^n <x_k,y_k> \end{eqnarray*}$ , aber dann hakts.
Habt ihr vielleicht Tipps? Bin wie immer sehr dankbar für Hinweise.

Lieben Gruß

16.06.2010, 14:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweise

Zitat:

Bei a) habe ich keine Idee, wie ich anfangen soll...

1. Die Basis ist ungeordnet und nicht in ()-Klammern?

2. Um was für eine Art der lin. Abbildung handelt es sich?

3. "genau eins" zu zeigen beinhaltet meist 2 Teile. Existenz und Eindeutigkeitsbeweis.

4. Was weiß man über das Skalarprodukt (Rechenregeln)

5. Wie kann man "jedes" v auch anders schreiben, so dass man sich nur mit bestimmen "v" beschäftigen muss?

16.06.2010, 14:58

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

1. Nein, die Basis steht in den geschwungenen Klammern auf meinem Zettel. Also wohl ungeordnet...

2. Sesquilinearform, da es über C ist.

4. Man weiß jetzt, aufgrund der Sesquilinearform, dass es linear im zweiten und semilinear im ersten Argument ist.

5. Meinst du damit evtl die Darstellung als Eigenvektoren? Also wenn es einen gibt, dann ist $\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda v \end{eqnarray*}$ . Meintest du das?

16.06.2010, 15:18

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2. Da verstehe ich dich nicht. Aus

Zitat:

Sei f: V -> C eine lineare Abbildung.

bekomme ich doch erst mal eine Linearform. Mehr steht da doch nicht. verwirrt

verwirrt

Einfach nur eine lineare Abbildung in den Körper.

Nun soll man zeigen, dass es genau ein w aus V gibt, so dass man die Linearform mit <*,w> identifizieren kann. Da es sich um einen C-VR handelt, sollte für <,> gelten (hermitesche positiv definite Sesquilinearform): http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...eine_Definition

Bei 5 meinte ich eher, wie Elemente von V und die Basis von V zusammenhängen. Eigenvektoren machen hier doch wenig Sinn, da nicht von V nach V abgebildet wird. http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem#Definition

Also, betrachte mal nur die Basisvektoren. Findest du dann ein solches w mit

$\begin{eqnarray*} \langle v_1,w \rangle = f(v_1) \\ \vdots \\\langle v_n,w \rangle = f(v_n) \end{eqnarray*}$

Frage: müßte es nicht eher ein unitärer C-Vektorraum sein (anstatt euklidisch?)

Wenn w aus V stammt, dann schreibe w mal anders und nutze, dass es sich um eine ONB handelt.

16.06.2010, 15:25

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur kurz zu deiner Frage: Auf dem Zettel steht euklidischer C-VR...ich hab mich zunächst auch gewundert, warum nicht unitär verwirrt

verwirrt

Also zu 5., dann ist natürlich zu sagen, dass Elemente aus V sich von den Basiselementen darstellen lassen.

Ich versuch mich jetzt erstmal daran smile

smile

16.06.2010, 16:05

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeig dir mal, was ich mir überlegt habe, vielleicht siehst du ja auch einen Fehler:

Da w in V liegt kann man w schreiben als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda _1 v_1 \\ ... \\ \lambda _n v_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} <v_i, w> = <v_i, \begin{pmatrix} \lambda _1 v_1 \\ ...\\ \lambda _n v_n\end{pmatrix} > = \lambda _1 ...\lambda _n <v_i, \begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$
Das Letzte müsste ja 0 sein da ONB. Also wäre f(v_i) = 0 verwirrt

verwirrt

Danke schonmal!

Anzeige

16.06.2010, 16:56

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit den Klammern ist nicht so gut. Was soll das sein? Weder Koordinatenvektor noch ... verwirrt

verwirrt

Aber die Idee ist richtig. Das man jedes Element von V als LK der Basis darstellen kann. Die Notation ist dann (lambda immer zu tippen bin ich zu faul)

$\begin{eqnarray*} w = a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \end{eqnarray*}$

Dann soll gelten

$\begin{eqnarray*} \langle v_1, a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \rangle = f(v_1) \\ \vdots \\\langle v_n, a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \rangle = f(v_n) \end{eqnarray*}$

Nun musst du die Linke Seite mit den Rechenregen und ONB umformen.

16.06.2010, 17:09

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, klar.
Dann erhalte ich am Ende natürlich:

$\begin{eqnarray*} \lambda _1 <v_1,v_1> + ... + \lambda _n <v_1,v_n> = f(v_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} . \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda _1 <v_n,v_1> + ... + \lambda _n <v_n,v_n> = f(v_n) \end{eqnarray*}$

Dann sind ja wieder alle Skalarprodukte = 0, da es ja eine ONB ist. Also f(v) = 0. Aber wieso dann w eindeutig sein sollte, versteh ich dann nicht...da würde doch jedes w passen?

16.06.2010, 17:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt nicht was du hingeschrieben hast. Oder hier schlecht mit den ... Schreib mal eine Zeile komplett hin... Die anderen laufen ja ähnlich ab.

16.06.2010, 17:17

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das "Endergebnis" oder meine Folgerung?

Ah, Fehler entdeckt: $\begin{eqnarray*} \lambda _i <v_i,v_i> = f(v_i) \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 17:17

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Oder hier schlecht mit den ... Schreib mal eine Zeile komplett hin... Die anderen laufen ja ähnlich ab.

16.06.2010, 17:23

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kaninchen

Ah, Fehler entdeckt: $\begin{eqnarray*} \lambda _i <v_i,v_i> = f(v_i) \end{eqnarray*}$

Gilt ja nur wenn i ungleich j ist, dass das Skalarprodukt 0 ist.

16.06.2010, 17:27

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Und was gilt für i=j?

16.06.2010, 17:31

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wär dann die Norm $\begin{eqnarray*} ||v_i||^2 \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 17:31

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Und die ist bei einer ONB?

16.06.2010, 17:33

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

= 1, also ist es nur das lambda! smile

smile

16.06.2010, 17:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun schreib das mal sauer hin, was da raus kommt.

16.06.2010, 18:09

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt steh ich auf dem Schlauch. Ich weiß nun, dass $\begin{eqnarray*} <v_i, w > = \lambda _i = f(v_i) \end{eqnarray*}$
Das darf ich doch gar nicht nach w auflösen? Weils im Skalarprodukt steht? Sorry für die doofe Frage...

16.06.2010, 18:15

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Menno... Wir waran doch schon so weit... Tränen

Tränen

$\begin{eqnarray*} \langle v_1, a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \rangle = f(v_1) \\ \vdots \\\langle v_n, a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \rangle = f(v_n) \end{eqnarray*}$

Nun eine Zeile

$\begin{eqnarray*} \langle v_1, a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \rangle = f(v_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \langle v_1, a_1\cdot v_1 \rangle + ... + \langle v_1,a_n \cdot v_n \rangle = f(v_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \langle v_1, v_1 \rangle + ... + a_n \langle v_1,v_n \rangle = f(v_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot 1 + ... + a_n \cdot 0 = f(v_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = f(v_1) \end{eqnarray*}$

Insgesamt also

$\begin{eqnarray*} a_1 = f(v_1) \\ \vdots \\ a_n=f(v_n) \end{eqnarray*}$

Und woher kamen die a? Weiß man nun vielleicht mehr über w? Idee!

Idee!

16.06.2010, 18:51

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Die a sind ja die Koeffizienten, die man braucht, um das w überhaupt darstellen zu können. Also die a multipliziert mit den Basiselementen. Dann wär doch das w diese a verwirrt

verwirrt

16.06.2010, 18:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt

Wir haben w doch schon längst dargestellt.

$\begin{eqnarray*} w = a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \end{eqnarray*}$

Erst dann haben die die <> aufgelöst. Wenn ich nun die ganzen a kenne, dann kenne ich, weil ich die v_i kenne und die eine Basis sind auch eindeutig das w.

Was sagt uns das nun bzgl.

Zitat:

a) Sei f: V -> C eine lineare Abbildung. Zeige: Es gibt genau ein $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <v,w> = f(v)\forall v \in V \end{eqnarray*}$

Idee!

17.06.2010, 08:31

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

w ist doch dann, wenn man jetzt die Darstellung oben betrachtet:

$\begin{eqnarray*} w = < v, f(v) > \end{eqnarray*}$

Die a sind ja das f(v)...oder bin ich da auf dem falschen Weg?

17.06.2010, 15:47

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

w ist das, als was wir es definiert haben. Ein Vektor aus dem VR.

$\begin{eqnarray*} w = a_1\cdot v_1 + ... + a_n \cdot v_n \end{eqnarray*}$

Die Frage war, ob wir w, also die a so bestimmen können, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \langle v_1,w \rangle = f(v_1) \\ \vdots \\\langle v_n,w \rangle = f(v_n) \end{eqnarray*}$

Wir haben festgestellt, dass man die a wie folgt wählen muss:

$\begin{eqnarray*} a_1 = f(v_1) \\ \vdots \\ a_n=f(v_n) \end{eqnarray*}$

Dadurch gibt es w, und sogar eindeutig. Fertig. smile

smile

Zitat:

b) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in V \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} <x,y> = \sum\limits_{k=1}^n <x,v_k> <y,v_k> \end{eqnarray*}$ (Das <y,v_k> soll dabei komplex konjugiert sein, ich weiß nicht wie ich das hier mit Formeln kenntlich machen kann, sorry)

Bitte nun 2 nochmal korrekt einstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \overline{y} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[l]\overline{y}[/l]

17.06.2010, 18:12

Kaninchen

Auf diesen Beitrag antworten »

b) hab ich schon gelöst - vielen Dank für deine Hilfe. Ich habs jetzt auch verstanden smile

smile

17.06.2010, 18:13

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »