Integration, Lebsgue-Maß

16.06.2010, 15:06

NastyNat

Integration, Lebsgue-Maß

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \left[0,\infty \right) \end{eqnarray*}$ eine messbare Funktion. Zu zeigen ist die Gleichheit:
$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb R \! f(x) \, dx = \int_A \! \lambda (\left\{ x\in \mathbb R :f(x)> t\right\} ) \, dt \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A=\left[0,\infty \right) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich soll f durch $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_B \! 1 \, dt \end{eqnarray*}$ darstellen, wobei B=[0,f(x)).

Wenn ich den Hinweis anwende erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \int_\mathbb R \int_B \! 1 \, dt \! \, dx \end{eqnarray*}$

Doch wie ich damit weiter rechne weiß ich nicht, was kann ich anwenden?
Ich bitte um Hilfe!

16.06.2010, 15:10

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RE: Integration, Lebsgue-Maß

Zitat:

Original von NastyNat
Ich soll f durch $\begin{eqnarray*} f(x)=\int_B \! 1 \, dt \end{eqnarray*}$ darstellen, wobei B=[0,f(x))

Etwas leichter zu erkennen ist es vielleicht mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int\limits_A \! 1_{[0,f(x))}(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

und dann Fubini.

16.06.2010, 15:21

NastyNat

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Warum stehen die Grenzen nun bei der 1? Ich verstehe die Notation nicht so ganz.

16.06.2010, 15:53

NastyNat

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Ich habe es einfach mal eingesetzt und erhalte $\begin{eqnarray*} \int_\mathbb R \int_A \! 1_B (t) \, dt \ dx \end{eqnarray*}$
und mit Fubini:
$\begin{eqnarray*} \int_A \int_\mathbb R \! 1_B (t) \, dx \ dt \end{eqnarray*}$

was kann ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda (\left\{ x\in \mathbb R :f(x)>t\right\} \end{eqnarray*}$ anfagen, außerdem weiß ich garnicht wie t definiert ist?

16.06.2010, 16:34

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Dumme Frage: t ist die Integrationsvariable der (nunmehr) äußeren Integration.

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Eigentlich ist es schon die Lösung, wenn du dich bemühst, die benutzte Indikatorfunktionsnotation zu verstehen: Es ist

$\begin{eqnarray*} 1_B(t) = 1_{[0,f(x))}(t) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls}\; 0\leq t < f(x) \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Integriert man diese Indikatorfunktion also über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h. mit festem $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , dann erhält man was?

16.06.2010, 18:00

NastyNat

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na klar, es ist dann das Volumen also lambda der entsprechenden Menge.
Vielen Dank!

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