Basen von Vektorräumen

16.06.2010, 15:56	epedemic	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen von Vektorräumen Hi Ich bin absolut neu hier und entschuldige mich jetzt schonmal dafür, dass ich noch kein Latex beherrsche. Also hier meine Frage zu einer Aufgabe in einem Matheübungsblatt: Wie berechne ich die Basen von dem Vektorraum U1nU2 (Schnitt) und U1+U2? Aufgabe: Wir betrachten folgende Unterräume im V = \|R³: U1 = span ( ([3][4][6]), ([3][5][9]), ([4][6][10]) ) U2 = span ( ([3][3][1]), ([3][1][-3]), ([8][10][10]) [ ] = zur Verdeutlichung der Zahlen. Ich bitte nicht um Lösung der Aufgabe sondern nur um kurze Erklärung der Handhabung. Vorab schonmal vielen Dank. (Die Forensuche habe ich natürlich schon benutzt, aber nichts Konkretes gefunden.) /copy
16.06.2010, 17:01	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ein Fall für den Zassenhaus-Algorithmus.
16.06.2010, 17:37	epedemic	Auf diesen Beitrag antworten »
Anders lässt es sich nicht lösen? Ich meine, in der Vorlesung haben wir den Zassenhaus-Algorithmus noch nicht gehabt. Und ganz genau versteh ich auch nicht was dort gemacht wird. Ich kann es nachvollziehen aber es ist mir nicht verständlich. Edit: Wenn ich den Zassenhaus-Algorithmus anwende; berechne ich dann erst die Basis von U1 und die Basis von U2 und wende ihn dann auf die Basen an. Oder? Auszug wikipedia.de: --------------------------------------------------------------------- Dazu müssen die beiden Teilräume Unterräume eines gemeinsamen Vektorraums sein, und die Basen dieser beiden Teilräume müssen gegeben sein. Die Anwendung des Algorithmus' ist dem des Gaußschen Eliminationsverfahrens sehr ähnlich. ---------------------------------------------------------------------
16.06.2010, 17:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, dann anders. Sagen wir mal der Einfachkeit halber, die beiden Räume würden nur von zwei Vektoren erzeugt (dann muss ich weniger schreiben ). Gegeben $\begin{eqnarray} U_1 = span(v_1), U_2 = span(v_2) \end{eqnarray}$ Zu beachten: Die Vektoren im Spann sollen eine Basis bilden, das musst du dann auch vorher überprüfen. Um jetzt eine Basis von $\begin{eqnarray} U_1 + U_2 \end{eqnarray}$ zu finden, schmeisst du die Basis vom einen UVR mit der des zweiten zusammen und bildest eine neue Basis. Zum Beispiel kannst du sie in eine Matrix schreiben und Zeilenstufenform herstellen. Für $\begin{eqnarray} U_1 \cap U_2 \end{eqnarray}$ müssen die Vektoren darin sowohl durch die Basis des einen, als auch des anderen UVR darstellbar sein. In einer Gleichung sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \lambda_1 \cdot v_1 = \lambda_2 \cdot v_2 \end{eqnarray}$ Mit einem Basisvektor allein ist das natürlich ein bisschen doof, aber du hast ja auch mehrere. Jetzt die rechte Summe rüberpacken und es ergibt sich ein LGS in den Unbekannten $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ , das du lösen kannst. Falls noch etwas unklar ist, dann frag ruhig. Versuche in jedem Fall schon mal, die entsprechenden LGS bzw. Matrizen aufzustellen. Allererster Schritt: Bestimme eine Basis der Unterräume und rechne mit ihnen dann weiter.
16.06.2010, 17:55	epedemic	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal ein Danke. Mit dem Zassenhaus-Algorithmus hab ich´s. Allerdings würde ich mich über weitere Antworten freuen. Edit: Du warst schneller... Also THNX. Probier jetzt auch noch das und geb beides ab :P
16.06.2010, 20:12	epedemic	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist noch was unklar ... Also, hab das jetzt mal so gemacht und komme auch wunderbar auf die Basis von U1+U2. Allerdings hängt es noch ein bissel mit dem Schnitt ohne Zassenhaus. Weiterhin habe ich eine zu bestimmende Basis überlesen und frage mich jetzt: V/(U1nU2) ? Schonmal vorab ein Dank an alle Antworten /copy
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