Normalengleichung

16.06.2010, 16:46

kati90

Normalengleichung

Meine Frage:
hallo!
ich habe ein problem mit einer aufgabe.Sie lautet:

Bestimmen Sie das Minimum des Funktionals

$\begin{eqnarray*} J(x)= \|Ax-b\|^2 \end{eqnarray*}$ über die Normalgleichung.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß nicht recht,wie ich da rangehen soll...
Die Normalgleichung sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} A^TAx= A^T b \end{eqnarray*}$

Außerdem steht im Skript,dass x dann Ax-b löst...nur das Funktional soll ja minimal werden..wie mache ich das?
danke für die Hilfe!

tigerbine: Titel geändert und latex.

16.06.2010, 17:12

tigerbine

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RE: Normalengleichung

Zitat:

Außerdem steht im Skript,dass x dann Ax-b löst...nur das Funktional soll ja minimal werden..wie mache ich das?
danke für die Hilfe!

Beweis der Äquivalenz: [WS] Lineare Ausgleichprobleme

Und was ist denn

$\begin{eqnarray*} \underbrace{A^TA}_{=:B}x=\underbrace{A^T b}_{=:c} \end{eqnarray*}$

Eigentlich doch nur ein LGS

$\begin{eqnarray*} Bx= c \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 17:23

kati90

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Hmmm,also das GLS hab ich schon ausgerechnet.Einfach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ eingesetz,das b eingesetzt und rausbekommen habe ich dann als Lösungsvektor

$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab ich das dann richtig verstanden,dass dieser Vektor dann die einzige Lösung ist und somit dann auch die Lösung zu meiner Aufgabe?? verwirrt

16.06.2010, 17:28

tigerbine

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Link anklicken. Was wird da über die Eindeutigkeit gesagt? Augenzwinkern

16.06.2010, 17:41

kati90

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hmmm,ich glaub,ich verstehs nicht:-(
Ich dacht,die Lösung der Normalengleichung wär eindeutig.Ist das denn falsch?? verwirrt

16.06.2010, 17:49

tigerbine

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Ich habe dir einen Link gegeben. Ich möchte, dass du beurteilst, was dort über die Beziehung der Lösungen gesagt wird. Denn du scheinst dir ja nicht sicher zu sein. Augenzwinkern

Zitat:

hab ich das dann richtig verstanden,dass dieser Vektor dann die einzige Lösung ist und somit dann auch die Lösung zu meiner Aufgabe?? verwirrt

16.06.2010, 17:57

kati90

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Klar,ich hab mir den Link durchgelesen.Ich muss ehrlich gestehen,dass ich noch nicht so wirklich geübt darin bin,mir solche beweise durchzulesen und die auch wirklich komplett zu verstehen. Erstaunt2

Ich war der Meinung,ich hätte da heraus gelesen,dass die Lösung der Normalengleichung eindeutig ist.Und daraus hab ich dann geschlossen,dass ich einfach A und b in meine gleichung einsetze und dann meinen Vektor x erhalte,der als einziger mein GLS löst.
Nur das scheint ja scheinbar nicht ganz richtig zu sein,sonst hättest du mich ja nicht darauf hingewiesen,den link zu lesen...
Also,tut mir leid,ich verstehe das,was in deinem Link steht scheinbar einfach nicht richtig... unglücklich

16.06.2010, 18:06

tigerbine

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Der alte Trugschluss, weil jemand eine Rückfrage stellt muss die Antwort falsch sein. Ich meinte damit, dass du dir die Antwort selbst geben kannst (und das musst du irgendwann auch). Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^* \text{ löst }~\min!~||Ax-b||_2 ~\Leftrightarrow x^* \text{ löst } A^TAx = A^Tb \end{eqnarray*}$

Das heißt doch, das jedes x*, dass die NGl löst, auch das Minimierungsproblem löst. Hast du die NGl. gelöst, dann auch das Minimierungsproblem. Fertig. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \fbox{$\displaystyle \text{Das Lineare Ausgleichsproblem besitzt stets eine Lösung} $} \end{eqnarray*}$

Es gibt also immer ein Lösung. Aber wie viele gibt es?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Rang}(A)=n \Rightarrow A^TA \text{ ist positiv definit }\Rightarrow A^TA \text{ ist regulär } \Rightarrow \text{NGL hat eind. Lösung} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Rang}(A)<n \Rightarrow A^TA \text{ ist singulär }\Rightarrow \text{NGL hat unendl. viele Lösungen} \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 18:21

kati90

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Ok,dann entschuldige bitte,dass ich mich so dämlich drangestellt habe!!
Also,hab ich dann mit meinem Vektor x,den ich ja bereits ausgerechnet hab,mein Problem gelöst.
Da meine Matrix A Rang 2 hat,ist das dann also auch die einzige lösung.
Hab ich das dann also richtig verstanden? smile

16.06.2010, 18:28

tigerbine

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Ja, hast du.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^TA = \begin{pmatrix} 9&1 \\1&3 \end{pmatrix}, A^Tb = \begin{pmatrix} 6\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bekomme ich aber ein anderes x raus.

16.06.2010, 18:38

kati90

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ach herrje,auch noch zu blöd zum rechnen! Forum Kloppe

Also,als Lösung hab ich jetzt
$\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 17/26 \\ 3/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es stimmt jetzt.
Und vielen,vielen Dank für deine Hilfe und vor allem für deine Geduld!

16.06.2010, 18:39

tigerbine

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Das sieht besser aus. Augenzwinkern

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