Konvergenz von Reihen

16.06.2010, 18:30

Matheversteher

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Konvergenz von Reihen

Hallo Matheboarder Wink

Wink

Ich habe mal wieder ein Problem mit der Konvergenz und weis nicht wie ich bei folgenden Folgen (im Anhang)zeigen soll, dass sie konvergieren, falls sie konvergieren. In unseren Vorlesungen haben wir bisher folgende Kriterien gehabt:
Cauchy-Kriterium
Majoranten-Kriterium
Quotienten-Kriterium
Wurzel-Kriterium

zu a)
$\begin{eqnarray*} \frac{n!^2}{(2n)!} =\frac{n! * n!}{n!+n!}=\frac{n!}{2} \end{eqnarray*}$
--> divergiert weil $\begin{eqnarray*} n! * \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ divergiert

zu b)
habe ich leider nichts (das gleiche als folge würde aber gegen e konvergieren)

zu c)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7^n} \begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix}=\frac{(3n)!}{n! * (2n)!}*\frac{1}{7^n}=\frac{3}{n!}*\frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$ (divergiert das nun auch?!)

Bitte reißt mir nicht den kopf ab wenn das jetzt hier kompletter humbug ist.
Hoffentlich kann mirhier jemand weiterhelfen und mir sagen, wo meine fehler liegen bzw wie ich fortfahren kann.

danke schön für eure hilfen
gruß flo

16.06.2010, 19:38

Evelyn89

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also zu a) ich erkenne leider nicht wie du diese umformungen gemacht hast.
kann aber auch an meiner mangelnden kompetenz liegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich hätte da jedenfalls nur kurz argumentiert, dass die folge streng monoton wachsend ist, und die zugehörige reihe dann erst recht streng monton wachsend ist, also divergent.

zu b) tipp: wurzelkriterium

zu c) warum soll das divergent sein? was verleitet dich zu dieser annahme?

gruß evelyn

16.06.2010, 19:42

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Was deine beiden Umformungen

$\begin{eqnarray*} (2n)! \stackrel{???}{=} n! + n! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(3n)!}{(2n)!} \stackrel{???}{=} 3 \end{eqnarray*}$

betrifft - schau dir die Fakultätsdefinition mal richtig an, und mach anschließend diesen hier: Finger1

Finger1

16.06.2010, 20:12

Matheversteher

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mhhh ja...
das ist dann jetzt
(2n)! = n*2 * n! ?

weil (2n)! = 2*1 + 2*2 + .... 2*n oder stehe ich jetzt sowas von auf dem schlauch??? Hammer

Hammer

somit wäre dann a)
$\begin{eqnarray*} \frac{n!^2}{(2n)!} =\frac{n! * n!}{n*2*n!}=\frac{n!}{2n} \end{eqnarray*}$

@ evelyn89, eben das ist mein problem mit der konvergenz. wie kann ich das den argumentieren, wenn ich ja schon probleme habe die kroterien anzuwenden. welches kriterium könnte ich denn anwenden, um diese aufgabe zu lösen?

c)
ich meinte eigentlich konvergent habe mich da wohl verschrieben.
ich komme darauf, weil
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ kovergiert aber ich weis auch nicht so wirklich weiter, weil ich nicht weis ob $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert oder divigiert. ich bin absolut aufgeschmissen unglücklich

unglücklich

.
könnte ich das auch schreiben als
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n!} * \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

16.06.2010, 20:15

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Du meine Güte...

$\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ ist das Produkt der Zahlen von 1 bis (2n), also

$\begin{eqnarray*} (2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1) \cdot (2n) \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 20:43

Matheversteher

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aiii erschießt mich Forum Kloppe

Forum Kloppe

aber kann ich denn dann trotzdem was kürzen? ich denke eher weniger oder?
welches kriterium kann ich denn dann bei der a anwenden, das quotientenkriterium?

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16.06.2010, 20:45

AD

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Bei Fakultäten ist Quotientenkriterium meist eine gute Idee. Aber du hast ja noch gar nicht angefangen, den Quotienten der aufeinander folgenden Reihenglieder zu bilden, sondern hast nur an dem Reihenglied selbst rumgedoktert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2010, 21:12

Matheversteher

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okee das quotientenkirterium lautet
$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n} =: q \end{eqnarray*}$

schreibe ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {(n+1)!^2}{(2*(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} =: q \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

wenn dem so ist, dann kann man das vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)!^2*(2n)!}{(n!)^2*(2(n+1))!} = \frac {(n+1)^2 (n!)^2*(2n)!}{(n!)^2*(2(n+1))!} = \frac {(n+1)^2}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$
aber wie fahre ich nun fort?

Edit
ich meine $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^2}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$

16.06.2010, 23:27

Evelyn89

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Das schaut doch schon mal gut aus. Jetzt musst du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Dazu kannst du den Ausdruck wieder umformen und entsprechend kürzen und dann steuerst du geradeaus auf die lösung zu.

und was ich oben meinte ist einfach nur, dass man doch sieht, dass die folge streng monoton wächst, da der zähler immer größer ist als der nenner und schneller wächst als der nenner.
die reihe zu a_n divergiert also schon. wenn du die glieder der folge nun aufsummierst bildest du die zugehörige reihe und ihr wert muss ja noch größer sein, da du ja noch aufsummierst (und alle werte sind größer als 0).
ich habe da kein spezielles kriterium benutzt.

lange rede kurzer sinn: sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ gegeben.

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ (a_n ist also keine Nullfolge).

Dann folgt: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert!

Ist dir klar wieso?

Wenn du Probleme hast, frag ruhig.

Gruß

16.06.2010, 23:49

GastMathematiker

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Zitat:

Original von Matheversteher
okee das quotientenkirterium lautet
$\begin{eqnarray*} \frac {a_{n+1}}{a_n} =: q \end{eqnarray*}$

schreibe ich dann

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac {(n+1)!^2}{(2*(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} =: q \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

wenn dem so ist, dann kann man das vereinfachen:
$\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)!^2*(2n)!}{(n!)^2*(2(n+1))!} = \frac {(n+1)^2 (n!)^2*(2n)!}{(n!)^2*(2(n+1))!} = \frac {(n+1)^2}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$
aber wie fahre ich nun fort?

Edit
ich meine $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^2}{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$

Du hast hier falsch umgeformt, am Ende muss $\begin{eqnarray*} \frac {(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Zitat:

Original von Evelyn89
und was ich oben meinte ist einfach nur, dass man doch sieht, dass die folge streng monoton wächst, ....
die folge a_n divergiert also schon.
Gruß

So kann man das natürlich nicht schreiben, da das so falsch ist.

17.06.2010, 09:04

Kühlkiste

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Matheversteher
Hallo Matheboarder Wink

Wink

Ich habe mal wieder ein Problem mit der Konvergenz und weis nicht wie ich bei folgenden Folgen (im Anhang)zeigen soll, dass sie konvergieren, falls sie konvergieren. In unseren Vorlesungen haben wir bisher folgende Kriterien gehabt:
Cauchy-Kriterium
Majoranten-Kriterium
Quotienten-Kriterium
Wurzel-Kriterium

zu a)
$\begin{eqnarray*} \frac{n!^2}{(2n)!} =\frac{n! * n!}{n!+n!}=\frac{n!}{2} \end{eqnarray*}$
--> divergiert weil $\begin{eqnarray*} n! * \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$ divergiert

zu b)
habe ich leider nichts (das gleiche als folge würde aber gegen e konvergieren)

zu c)
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{7^n} \begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix}=\frac{(3n)!}{n! * (2n)!}*\frac{1}{7^n}=\frac{3}{n!}*\frac{1}{7^n} \end{eqnarray*}$ (divergiert das nun auch?!)

Bitte reißt mir nicht den kopf ab wenn das jetzt hier kompletter humbug ist.
Hoffentlich kann mirhier jemand weiterhelfen und mir sagen, wo meine fehler liegen bzw wie ich fortfahren kann.

danke schön für eure hilfen
gruß flo

Bei a.) und c.) hilft das Quotientenkriterium.

Bei b.) könntest Du folgendes betrachten:

$\begin{eqnarray*} \left(\alpha + \frac 1n\right)^n=\alpha^n\left(\left(1 + \frac 1{\alpha n}\right)^{\alpha n}\right)^{\frac 1{\alpha}} \end{eqnarray*}$

und feststellen, dass die zu untersuchende Reihe also das gleiche Konvergenzverhalten hat wie

$\begin{eqnarray*} \sum \alpha^n \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Bei Aufgabe a.) solltest Du Dich an den Beiträgen von Arthur und GastMathematiker orientieren.

17.06.2010, 11:25

Evelyn89

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Zitat:

Original von Evelyn89
und was ich oben meinte ist einfach nur, dass man doch sieht, dass die folge streng monoton wächst, ....
die folge a_n divergiert also schon.
Gruß

So kann man das natürlich nicht schreiben, da das so falsch ist.[/quote]

Wieso ist das falsch?

Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} (n!)^2>2n)! ~~~~~\forall n>2 \end{eqnarray*}$
Und weiterhin: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n ~\Leftrightarrow~ \frac{(n!)^2}{(2n)!}<\frac{(n+1)^2}{(2(n+1))!} ~\Leftrightarrow~ \frac{1}{(2n)!}<\frac{(n+1)^2}{(2(n+1))!} \end{eqnarray*}$

Und ich denke mal spätestens jetzt dürfte offensichtlich sein, dass die Folge monoton wächst.
Wenn ich nun die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ von a_n bilde, so kann diese unmöglich konvergieren. Ist doch klar. Was soll daran falsch sein?!

Wenn du einzelne Ausschnitte aus meinem Post nimmt, kann man es natürlich so zusammen basteln, dass am Ende etwas Falsches da steht, weil es aus dem Zusammenhang gerissen wurde.
Also lass es lieber und lies dir den Post von Anfang bis zum Schluss sorgfältig durch, bevor du behauptest, dass da etwas falsch ist.

17.06.2010, 11:56

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Evelyn89
Das schaut doch schon mal gut aus. Jetzt musst du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2n+2} \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Nein, den richtigen Quotienten hat GastMathematiker hingeschrieben.

Zitat:

Original von Evelyn89
und was ich oben meinte ist einfach nur, dass man doch sieht, dass die folge streng monoton wächst, da der zähler immer größer ist als der nenner und schneller wächst als der nenner.
die reihe zu a_n divergiert also schon. wenn du die glieder der folge nun aufsummierst bildest du die zugehörige reihe und ihr wert muss ja noch größer sein, da du ja noch aufsummierst (und alle werte sind größer als 0).
ich habe da kein spezielles kriterium benutzt.

Diese pseudomathematische Prosa ist ebenso unverständlich wie ungenau und daher auch nicht brauchbar.

Zitat:

Original von Evelyn89
lange rede kurzer sinn: sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ gegeben.

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ (a_n ist also keine Nullfolge).

Dann folgt: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ divergiert!

Die Implikation $\begin{eqnarray*} \sum a_n \ \mbox{konvergiert} \ \Rightarrow \lim a_n=0 \end{eqnarray*}$ stimmt zwar - ist aber hier nicht brauchbar hier weil Deine Rechnung einfach nur falsch ist:

Zitat:

Original von Evelyn89

Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} (n!)^2>2n)! ~~~~~\forall n>2 \end{eqnarray*}$

Nein! Im Gegenteil gilt $\begin{eqnarray*} (2n)!>(n!)^2 \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Evelyn89
Und weiterhin: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}>a_n ~\Leftrightarrow~ \frac{(n!)^2}{(2n)!}<\frac{(n+1)^2}{(2(n+1))!} ~\Leftrightarrow~ \frac{1}{(2n)!}<\frac{(n+1)^2}{(2(n+1))!} \end{eqnarray*}$

Auch diese Rechnung ist falsch!

Tatsächlich gilt: $\begin{eqnarray*} 1>\frac{n+1}{2(2n+1)}\Leftrightarrow a_n> a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Woraus Du lediglich folgern kannst, daß die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ streng monoton fällt. Hinsichtlich der Aufgenstellung eine wertlose Feststellung!

Zitat:

Original von Evelyn89
Also lass es lieber und lies dir den Post von Anfang bis zum Schluss sorgfältig durch, bevor du behauptest, dass da etwas falsch ist.

Angesichts der inhaltlichen 'Qualität' Deines Beitrags solltest gerade Du mit Zurechtweisungen dieser Art wesentlich zurückhaltender sein!

17.06.2010, 14:16

Evelyn89

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Erklär mir mal bitte warum $\begin{eqnarray*} (2n)! > (n!)^{2} ~ ~ ~~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten soll?

Da werd ich nicht schlau draus.

17.06.2010, 14:32

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Evelyn89
Erklär mir mal bitte warum $\begin{eqnarray*} (2n)! > (n!)^{2} ~ ~ ~~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten soll?

Da werd ich nicht schlau draus.

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{1\cdot\ldots\cdot n\cdot(n+1)\cdot\ldots\cdot(2n)}{(1\cdot\ldots\cdot n)(1\cdot\ldots\cdot n)}=\prod_{k=1}^n\frac {n+k}k=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac nk\right)\geq2^n>1 \end{eqnarray*}$

Und, funkts jetzt?

17.06.2010, 18:45

Evelyn89

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Ja, jetzt hat´s Klick gemacht.
Auf den ersten Blick kann man das so gar nicht glauben.

Ich habe das Thema "Reihen" eigentlich schon längst an der Uni abgeschlossen und trotzdem wird man da vor den Kopf gestoßen. Anscheinend hab ich damals irgendwas falsch gemacht. verwirrt

verwirrt

Vielen Dank für die Aufklärung! smile

smile

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