Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge

16.06.2010, 19:27

Tschabalala

Gleichmäßige Konvergenz Funktionenfolge

Meine Frage:
Sei für

$\begin{eqnarray*} x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\frac{n^2x^2}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$

Untersuchen Sie, ob die Folge von Funktionen

$\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

auf [-1,1] gleichmäßig konvergiert.

Meine Ideen:
Die Punktweise Konvergenz kann man ganz einfach herleiten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{n^2x^2}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$

dann L´Hospital daraus folgt der Limes einfach 1 ist.

Wie beweise ich nun gleichmäßige Konvergenz?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }sup| \frac{n^2x^2}{1+n^2x^2} -1 | \end{eqnarray*}$

wenn man vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }sup|- \frac{1}{1+n^2x^2} | \end{eqnarray*}$

wie mache ich nun weiter? Was ist das Supremum hier?

16.06.2010, 19:29

tmo

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1. Warum benutzt du hier l'Hospital?

2. Dass der Grenzwert 1 ist, ist nur die halbe Wahrheit.

Bevor das nicht geklärt ist, macht die Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz keinen Sinn.

16.06.2010, 19:46

Tschabalala

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1. Naja Unendlich geteilt durch Unendlich, da darf ich doch L´Hospital anwenden. Wenn ich den anwende kann ich kürzen und es kommt 1 heraus.

Was is daran falsch?

16.06.2010, 19:49

tmo

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Nichts, aber es ist doch Quatsch auf sowas l'Hospital anzuwenden. Das suggeriert nämlich irgendwie, dass man es nicht anders könnte.

16.06.2010, 19:57

Tschabalala

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Nein das habe und will ich gar nicht behaupten, aber das war halt das was mir in den Sinn kam. Kann ich so wohl nicht weitermachen?

16.06.2010, 20:32

tmo

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Zitat:

Original von tmo
2. Dass der Grenzwert 1 ist, ist nur die halbe Wahrheit.

Das gilt es noch zu beachten.

16.06.2010, 20:33

Tschabalala

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Tut mir leid ich weiß nicht weiter, was ist die andere halbe Wahrheit?

16.06.2010, 22:08

Tschabalala

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Kann denn niemand mir einen wirklichen Tipp geben, wie ich weitermachen muss?

16.06.2010, 23:17

system-agent

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Immer langsam Lehrer

.

Hinweis: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

16.06.2010, 23:56

GastMathematiker

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Zitat:

Original von Tschabalala
1. Naja Unendlich geteilt durch Unendlich, da darf ich doch L´Hospital anwenden. Wenn ich den anwende kann ich kürzen und es kommt 1 heraus.

Was is daran falsch?

Da gibt es aber auch noch weitere Vorraussetzungen, das kann sonst auch schonmal schiefgehen, was studierst du denn, wenn es Mathe ist, solltest du nicht blind überall l´Hospital drauf anwenden.

17.06.2010, 00:01

NochEinGast

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Anstatt l'Hospital kannst du auch einfach mal was im Nenner ausklammern.
Wenn du dann die richtige Grenzfunktion hast: Ist jedes f_n stetig? Was heißt das dann für die Grenzfunktion?

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