Maximale Temperatur auf kreisförmiger Platte

16.06.2010, 19:39	Janine_w22	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Temperatur auf kreisförmiger Platte Hallo Leute, folgende Aufgabe ist gegeben: Gegeben sei eine kreisformige Platte $\begin{eqnarray} D := \{ (x; y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \} \end{eqnarray}$ mit der Temperaturverteilung $\begin{eqnarray} T : D -> \mathbb R; (x; y) -> xy + 1 \end{eqnarray}$ Gibt es auf D Punkte maximaler und minimaler Temperatur? Falls ja, welche Punkte sind dies? Wir machen zurzeit partielle Differentiation. Doch wie kann ich ein Extremum der Temperaturverteilung bestimmen? Im $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mach ich's ja einfach über die Ableitung, gleich Null setzen und so weiter. Aber wie das im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ gehen soll ist mir nicht so klar. Hat jemand einen Tipp? Dankeschön!
16.06.2010, 19:54	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier machst du es genau gleich. Du suchst die Punkt $\begin{eqnarray} (x,y)\in D \end{eqnarray}$ für die das Differential [oder Gradient] verschwindet. Diese sind deine Kandidaten.
16.06.2010, 20:12	Janine_w22	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort! Also ich mache das für die partielle Ableitung nach x und für die nach y einzeln? Ich schaue, wann die partielle Ableitung von x = 0 ist, das ist dann mein x für die auch die Temperaturverteilungsfunktion minimal/maximal wird; dasselbe für y. Und das wars das schon? Also: df/dx = y = 0 <=> y = 0. df/dy = x = 0 <=> x = 0. Dann schaue ich mir noch die zweite partielle Ableitung an, also df^2/dx = 1 > 0 => Minimum df^2/dy = 1 > 0 => Minimum Also hat meine Temperaturverteilung ein Minimum in (0,0). Wäre es das? :-)
16.06.2010, 23:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du so eine Aufgabe lösen sollst, dann habt ihr doch auch in der Vorlesung besprochen wie so etwas geht. Tatsächlich geht es analog wie im eindimensionalen Fall. Das Differential hier ist $\begin{eqnarray} (Df)_{(x,y)}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=(y,x) \end{eqnarray}$ , wie du das schon berechnet hast. Und du hast auch recht, dass es dann und nur dann verschwindet, wenn $\begin{eqnarray} x=y=0 \end{eqnarray}$ , also im Punkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ . Weitere Stichworte: --> Hessematrix in $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ --> Randextrema ! Lagrange?

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