Konvergenz von Funktionfolgen und deren Integral

16.06.2010, 20:23	ohhlala	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionfolgen und deren Integral Meine Frage: Hi Leute, ich suche: 1. eine Funktionenfolge, die integrierbar ist für alle x in (0,1) und Grenzwert Null hat, jedoch dessen Integral konvergent ist gegen eine Zahl ungleich Null. 2. eine Funktionenfolge die für kein x in (0,1) konvergent ist, dessen Integral jedoch gegen 0 konvergiert. Hat jemand eine Idee? Meine Ideen: Zu 1. habe ich die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{1}{n} 1_{(0,1)} (x) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} 1_{(0,1)} (x) \end{eqnarray}$ die Charakteristische Funktion ist. Dann konvergiert die Funktionenfolge offensichtlich gegen 0, jedoch ist das Integral der Funktion $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{1}{n}1_{(0,1)}(x) \, dx = 1 \end{eqnarray}$ , also ebenfalls $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty } \int_0^1 \! \frac{1}{n}1_{(0,1)}(x) \, dx = 1 \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Zu 2. Sei $\begin{eqnarray} f_{n}(x)= ncos(n^2x) \end{eqnarray}$ , diese konvergiert für kein x aus (0,1), jedoch ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \int_0^1 \! ncos(n^2x) \, dx =\lim_{n \to \infty } \frac{sin (n^2x)}{n}= 0 \end{eqnarray}$ . Stimmt die Notation? Ich bin mir nicht sicher...
16.06.2010, 23:11	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionfolgen und deren Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{1}{n}1_{(0,1)}(x) \, dx = \frac{1}{n}\int\limits_0^11_{(0,1)}(x)\dd x=\frac{1}{n}\to0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ .

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