Umkehrfunktion

16.06.2010, 20:55

Matejka

Umkehrfunktion

Moin moin, hab mich heute mal ein bisschen mit Umkehrfunktionen beschäftig, das Thema ist verstanden, nur eine kleine Frage an euch, da ich gerne in Mathe rumprobiere und gerne mit Funktionen spiele.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f: y=\frac{1}{5}*x^{2}-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}: y=\sqrt{5x+10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f: y=x \end{eqnarray*}$

Soll das in einen Koordinatensystem zeichnen, auch erfüllt. Mit diesen Definitionsmengen und Wertemengen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} Df=\mathbb R^{\geq 0} = W^{f-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D^{f-1}=\mathbb R^{\geq-2} = Wf \end{eqnarray*}$

So nun meine Frage, nach dem ich das gezeichnet habe, mit hilfe einer Wertetabelle, hab ich gesehen, dass sich die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}: y=\sqrt{5x+10} \end{eqnarray*}$ und die Funktion $\begin{eqnarray*} f: y=\frac{1}{5}*x^{2}-2 \end{eqnarray*}$ schneiden können. So fleißig wie ich bin, hab ich das auch gleich einmal probiert, in dem ich meine Wertetabelle so vergrößert habe, dass sie sich schneiden. Aber nur einmal.
Anschließend hab dich das ganze mal versucht zu errechnen, also die Schnittpunkte, bzw. Schnittpunkt.
wenn ich $\begin{eqnarray*} f: y=\frac{1}{5}*x^{2}-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: y=x \end{eqnarray*}$ gleichsetze, erhalte ich zwei Schnittpunkte.
wenn ich $\begin{eqnarray*} f: y=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}: y=\sqrt{5x+10} \end{eqnarray*}$ gleichsetze, erhalte ich einen Schnittpunkt.
Setze ich $\begin{eqnarray*} f^{-1}: y=\sqrt{5x+10} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: y=\frac{1}{5}*x^{2}-2 \end{eqnarray*}$ zusammen, erhalte ich nach Zeichnung einen Schnittpunkt, aber rechnerisch habe ich keine Ahnung wie ich das Lösen soll. Und das ist letzten endes meine Frage.

Bei dem Bild, welches ich angehängt habe, ist in der Formel das -10 falsch geschrieben, normal sollte dies auch in Klammern stehen, also (-10), bitte dies zu Entschuldigen.

grüße Matejka

16.06.2010, 21:10

Q-fLaDeN

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Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+10} = \frac 1 5 x^2-2 \end{eqnarray*}$

lässt sich algebraisch nicht nach x auflösen. Da müsstest du mit einem Näherungsverfahren oder Ähnlichem rangehen.

16.06.2010, 21:35

Matejka

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Die Gleichung so, war mir klar, danke. Und nach x auflösen hab ich nicht hinbekommen, sowie du es auch grad geschrieben hast. Ich hatte sowas wie ein Näherungsverfahren noch nicht, wie soll das gehen?

16.06.2010, 23:23

wisili

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+10} = \frac 1 5 x^2-2 \end{eqnarray*}$
lässt sich algebraisch nicht nach x auflösen.

Doch: Nach Quadrieren kann die Gleichung 4. Grades algebraisch gelöst werden,
dies aber nur im Rahmen komplexer Zahlen. Mit einfacher Schulalgebra geht es tatsächlich im allgemeinen nicht.

Für das spezielle vorliegende Beispiel gibt es allerdings einen Weg:
Man braucht die rechte Seite nur durch «x» zu ersetzen.

16.06.2010, 23:53

Q-fLaDeN

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Da bin ich aber mal gespannt.

17.06.2010, 00:15

wisili

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17.06.2010, 00:20

wisili

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Nein, nicht gespannt dasitzen, sondern rechnen: Löse

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+10} = x = \frac 1 5 x^2-2 \end{eqnarray*}$

(Normalerweise ist so ein System überbestimmt, hier aber nicht: vgl. oben Lösung x1 von Matejka.)

17.06.2010, 10:27

Q-fLaDeN

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Mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat er sie doch schon gleichgesetzt und die Lösung(en) gefunden, es geht ja speziell um das Lösen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5x+10} = \frac 1 5 x^2-2 \end{eqnarray*}$

und da war ich mir doch ziemlich sicher, dass das algebraisch nicht geht.

17.06.2010, 10:42

wisili

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hat er sie doch schon gleichgesetzt und die Lösung(en) gefunden

... und das ist eben auch die Lösung der vorliegenden Gleichung.

(Algebraisch lösbar heisst doch, dass die Lösungen mit den Grundrechenarten und Radikalen (Wurzeltermen) ausgedrückt werden können.)

18.06.2010, 11:31

Matejka

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Hab heute dieses problem bei meinem Mathematiklehrer angesprochen und er ist fest davon überzeugt, dass ich diese Aufgabe lösen kann, aber nicht in diesem Schuljahr^^, ich weiß auch wie es geht, nur ich müsste dann mit $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ arbeiten etc. und wir sind im moment noch im quadratischen Bereich, wobei mich das net wirklich aufhalten kann, da ich weiß wie man mit dem Horner schema arbeitet smile

. Ich versuch mal bis Sonntag die Aufgabe durch zu rechnen. Warum das so lange dauert liegt daran, dass ich nächste Woche Fachreferat hab und mich darauf noch konzentrieren muss.

grüße

18.06.2010, 11:48

Q-fLaDeN

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@wisili
Wenn man das so auffasst, hast du natürlich recht. Aber angenommen, die beiden Funktionen wären keine Umkehfrunktionen, dann würde es wohl nicht klappen.

18.06.2010, 20:21

wisili

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Zitat:

Original von wisili
Nach Quadrieren kann die Gleichung 4. Grades algebraisch gelöst werden,
dies aber nur im Rahmen komplexer Zahlen. Mit einfacher Schulalgebra geht es tatsächlich IM ALLGEMEINEN nicht.

Da hast du auch wieder recht.

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