Würfelspiel (nacheinander würfeln) |
| 16.06.2010, 21:46 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Würfelspiel (nacheinander würfeln) Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Spieler A und B würfeln nacheinander mit einem 6-Seiten-Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils 1/6. Gewinner ist, wer zuerst eine 6 Gewürfelt hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Spieler A bzw. B zu gewinnen? Meine Ideen: Ich würde sagen, die Wahrscheinlichkeit ist für beide 1/6, dies scheint jedoch nicht richtig zu sein :/ |
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| 16.06.2010, 22:45 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Würfelspiel (nacheinander würfeln) Wenn die Spieler keine Sechs werfen, schreiben wir a bzw. b. Wenn sie eine Sechs werfen, schreiben wir A bzw. B. Der zuerstwerfende Spieler (mit Namen A) gewinnt also bei folgenden Spielverläufen: A oder abA oder ababA oder abababA oder ... (Zur Kontrolle: Seine Gewinnw'keit ist 6/11, jene von B ist 5/11.) |
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| 16.06.2010, 22:48 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Würfelspiel (nacheinander würfeln)
Manchmal hilft ein naiver Ansatz: Hast Du das Gefühl, das Spiel ist fair? Wieviele spielen mit? Insgesamt müssen 100% rauskommen, wie groß ist also die Chance des Einzelnen? Damit hast Du ein Gefühl, in welcher Größenordnung die Wahrscheinlichkeit liegt und on 1/6 weit weg ist 
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| 16.06.2010, 23:16 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, danke für die schnellen Antworten! Durch die Antwort von kurellajunior verstehe ich jetzt, wieso mein Ergebnis mit 1/6 nicht sein kann 
.Aber wie kommt man auf die 6/11 ? Da müsste ich ja alle Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten bis ins Unendliche aufaddieren. Kann mir das bitte nochmal jemand erklären? |
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| 16.06.2010, 23:25 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau so ist es. Dazu sollte man «geometrische Folgen und Reihen» kennen. (Vorher solltest du aber sicher sein, dass meine Auslegung deiner sehr knapp und ungenau formulierten Aufgabe zutrifft.) |
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| 16.06.2010, 23:42 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich denke schon, dass du die Aufgabe richtig verstanden hast. Allerdings scheint mir meine Idee von vorhin doch etwas fragwürdig, da durch das aufsummieren die Wahrscheinlichkeit irgenwann größer als 1 wäre. Ich befürchte ich kenne die «geometrische Folgen und Reihen» nicht :/ |
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| 17.06.2010, 00:12 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du geometrische Reihen nicht kennst, wird es schwierig. Aber dein Vorurteil «irgenwann größer als 1 » kann leicht abgebaut werden: Summiere 1/2+1/4+1/8+1/16+ ... und überlege laufend, wieviel noch bis 1 fehlt. |
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| 17.06.2010, 08:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann diesen Typ Aufgaben auch ohne geometrische Reihe lösen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von A sei a. Dann ist die Gewinnwahrscheinlichkeit von B b = 1 - a. In 5/6 der Fälle gewinnt A nicht schon mit dem ersten Wurf. Dann ist B dran. Der gewinnt einerseits mit Wahrscheinlichkeit 1 - a. Andererseits ist er jetzt in der Situation von A. D. h. er gewinnt ab jetzt mit Wahrscheinlichkeit a. Nur kommt er halt nur in 5/6 der Fälle in diese Situation. Man hat daher die Gleichung: edit: Lösung entfernt - kann aus dem obigen selbst entwickelt werden Daraus folgt die schon genannte Lösung. |
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| 17.06.2010, 08:26 | kurellajunior | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
elegant und exakt. Ich habe mal die finale Formel weggenommen - auf die kann der Fragesteller mit Deiner Hilfe selber kommen. |
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| 17.06.2010, 08:32 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ungute Gefühl des Fragestellers, es könnte einen dritten Fall geben, wo keiner der beiden gewinnt (es kommt nie ein Sechser), bleibt, solange kein Grenzwert betrachtet werden kann. |
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| 17.06.2010, 08:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist richtig. Dazu braucht man aber nicht die Formel für die geometrische Reihe. Es genügt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass nach n Würfen noch keiner gewonnen hat beträgt. Und das konvergiert offensichtlich gegen Null. |
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| 17.06.2010, 10:03 | Jeromi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Müsste ich dann für Spieler B soetwas wie (1-a)*(5/6)*a haben? Also die Gegenwahrscheinlichkeit von Spieler A mal die Wahrscheinlichkeit 5/6, da dies die Wahrscheinlichkeit ist, dass er sich überhaupt in dieser Situation befindet. |
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| 17.06.2010, 10:32 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein! Les dir noch mal sorgfältig meinen Beitrag durch. Besser kann ich es nicht erklären. Und da der Mod die Gleichung gelöscht hat, muss er dir das besser erklären. Wenn du in deinem Ausdruck ein Symbol änderst, entsteht die richtige Gleichung. |
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| 13.08.2010, 19:39 | Don P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo ihr Zocker 
Ich versuch's nochmal ohne viele Formeln: Wenn Spieler A und B abwechselnd und beide immer gleich oft würfeln, dann haben beide wegen der Unabhäbgigkeit der Ereignisse die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit, und das Spiel kann unentschieden ausgehen. Die Chancen stehen dann fifty-fifty. Aaaaber: Weil eine gewürfelte 6 das Spiel sofort beendet und Spieler A anfängt, kann es passieren, dass A das Spiel schon gewonnen hat, bevor B überhaupt den Würfel in die Hand nehmen darf, und deshalb hat A eine höhere Gewinnw'keit als B. Mit anderen Worten: Das Spiel kann beendet werden, ohne dass beide gleich oft gewürfelt haben, und das geschieht dann immer zum Nachteil von Spieler B, weil der ja eine Chance weniger hatte, logisch. Also: – Die W'keit, eine 6 zu würfeln, sei p, und die W'keit etwas anderes zu würfeln sei q. – A fängt an und beendet das Spiel siegreich mit W'keit p im ersten Wurf, mit W'keit q aber nicht. – B darf nur mit W'keit q überhaupt würfeln und beendet das Spiel daher siegreich im zweiten Wurf mit W'keit q*p. Das ist eigentlich schon alles, denn falls jetzt noch keiner gewonnen hat, geht das Ganze ja von vorne los. Was vorher war, ist aber wegen der Unabhängigkeit der Ereignisse völlig irrelevant, und muss daher irgendwie aus der Rechnung verschwinden. Zu diesem Zweck sezt man einfach die berechnete Gewinnw'keit für A zu der von B ins Verhältnis und fertig ist die Laube... stimmt's? Grüße, Don P |
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