affine abbildungen

14.06.2004, 19:39	juliett13	Auf diesen Beitrag antworten »
affine abbildungen Kann mir zufällig jemand bei folgendem Beweis helfen? Es seien e (sprich:"epsilon") eine affine Ebene, P 0, P 1, P 2 (0,1,2 sind indizees) drei nicht kollineare Punkte (alle drei in e) und Q 0, Q 1, Q 2 drei Punkte (alle drei in e). Dann gibt es genau eine affine Abbildung a (sprich: "alpha"): e --> e mit (P i) ^a = Q i (sprich: "(P i) hoch alpha = (Q i)" i´s sind Indizees) für i = 1, 2 . Beweise! Ich hoffe, das ist nicht zu verwirrend, aber ich bin mit dem Formeleditor nicht klar gekommen hmpf Liebe Grüße, Julia
14.06.2004, 20:17	Anirahtak	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl kein Rätsel! Verschoben nach Algebra
14.06.2004, 22:05	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
hm ich weiß zwar nicht was eine affine Abbildung ist, aber ich kann dir maybe tip geben wie du den beweis anfängst. Zum einen musst du die eindeutigkeit und zum anderen die existens der Abbildung zeigen Für die eindeutigkeit nimmst du dir eine Abbildung e' her und zeigst das wenn e' und e existieren, das beide gleich sind. Die existens der Abbildung müsste sich durch herleitung aus den Gegebenheiten erschließen. edit Es gibt viele Wege nach rom , es muss nicht sein das meine Ansätze die besten sind!
14.06.2004, 22:34	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Fragen, juliett: 1. Was ist eine affine Ebene, wie ist sie definiert? 2. Was ist eine affine Abbildung, wie ist sie definiert?
15.06.2004, 18:21	juliett13	Auf diesen Beitrag antworten »
affine abbildungen eine abbildung alpha ist affin, wenn gilt: (1) eine gerade wird entweder auf eine Gerade oder einen punkt abgebildet. (2) sind P, Q, R drei punkte einer geraden und t in \R, so dass vektor (PR) = t * vektor (PQ), so gilt auch für die Bilder "P hoch alpha", "Q hoch alpha" , "R hoch alpha" von P, Q, R bei der abbildung alpha: vektor ("P hoch alpha""R hoch alpha") = t * vektor ("P hoch alpha""Q hoch alpha") --> eine affine abbildung ist quasi eine abbildung, bei der geradentreue (1) und teilverhältnistreue (2) gilt! Dementsprechend sind affine Ebenen Ebenen, die bei ihrer Abbildung "geradentreu" (dh. die Abbildung einer ebene ist entweder eine ebene, eine gerade, oder ein punkt) und teilverhältnistreu sind.
15.06.2004, 18:52	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehe ich das richtig, dass eine affine Abbildung Parallelen auf Parallelen abbildet? Wenn das nämlich so ist, dann kann man die Eindeutigkeit relativ leicht zeigen: Wir nehmen die drei vorgegebenen Punkte P0, P1 und P2, und einen beliebigen Punkt P der affinen Ebene. Wie verbinden P0P1, P0P2, und ziehen die Parallelen zu diese Geraden, die durch den Punkt P gehen. Die schneiden P0P1 und P0P2 in den Punkten P3 und P4 (kann auch auf der Verlängerung sein!). Das Verhältnis P0P3 : P0P1 nennen wir a1, analog ist a2 := P0P4 : P0P2. Damit erhalten wir die unten abgebildete Situation. Nun machen wir dasselbe mit den Bildpunkten Q0, Q1 und Q2. Wir bestimmen den Punkt Q3, der im Teilverhältnis a1 zwischen Q0 und Q1 liegt, d.h. den mit a1 = Q0Q3 : Q0Q1. Analog finden wir Q4 auf Q0Q2. Wir ziehen die beiden Parallelen, die schneiden sich in einem Punkt, den wir Q nennen. Der muss das Bild von P sein, unter jeder affinen Abbildung, die P0,P1,P2 auf Q0,Q1,Q2 abbildet.
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