Integral Wurzel aus 1+cos^2

16.06.2010, 22:45

susi10000

Integral Wurzel aus 1+cos^2

Meine Frage:
Huhu, vielleicht kann mir hier jmd weiterhelfen. Ich suche das Integral von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ . wie soll ich das anstellen?

Meine Ideen:
Ich habe keine Ideen

16.06.2010, 22:51

Mulder

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Oha!

Das sieht schlecht aus...

17.06.2010, 08:42

Kühlkiste

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2

Zitat:

Original von susi10000
Meine Frage:
Huhu, vielleicht kann mir hier jmd weiterhelfen. Ich suche das Integral von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ . wie soll ich das anstellen?

Meine Ideen:
Ich habe keine Ideen

Wie sicher bist Du Dir, dass da tatsächlich ein '+' und nicht vielleicht doch ein '-' stehen soll?

17.06.2010, 09:23

outSchool

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Hallo,

musst du dieses (elliptische) Integral ausrechnen oder nur zeigen, dass es existiert?

17.06.2010, 10:29

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Die Aufgabe lautet folgendermaßen: welchen inhalt hat die oberfläche die entsteht, wenn die kurve y=sinx (x von 0 bis Pi) um die x-achse rotiert.

der einzige weg der mir bisher beigebracht wurde, sind die guldinschen regeln.
Manelfläche=2Pi * Schwerpunkt * Bogenlänge

bogenlänge s = $\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! \sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx \end{eqnarray*}$

schwerpunkt ys = $\begin{eqnarray*} 1/s*\int_0^\pi \! f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx \end{eqnarray*}$

und f '(x) ist nunmal cosx.

Ich muss ja nicht beweisen dass das integral existiert, sondern es einfach nur berechnen. ich habs auch schon mit der simpson´schen formel oder der trapezregel probiert zu berechnen aber da kommt nur mist raus...

17.06.2010, 11:18

Huggy

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Wie du deinen Formeln entnehmen kannst, kürzt sich die Bogenlänge heraus und es bleibt für die Mantelfläche M:

$\begin{eqnarray*} M=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'^2}dx \end{eqnarray*}$

Und das ist ein viel schöneres Integral. Weshalb willst du etwas berechnen, was du gar nicht brauchst?

17.06.2010, 11:28

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
also mit simpson hab ich jetzt das richtige ergebnis für die mantelfläche. aber mich würde trotzdem mal interessieren, wie bzw ob man das integral auch anders lösen kann...

17.06.2010, 11:30

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
ja das mit dem rauskürzen hab ich auch mitbekommen, aber trotzdem muss ich das integral aus wurzel 1+cos^2 berechnen

17.06.2010, 11:35

Huggy

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Wieso musst du das?
Das verbleibende Integral sieht doch anders aus!

17.06.2010, 14:36

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
wenn ich s rauskürze bleibt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x)*\sqrt{1+(f'(x))^2} \, dx \end{eqnarray*}$ also:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi \! sin(x)*\sqrt{1+cos^2(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Also muss ich trotzdem das integral von wurzel 1+cos^2 errechnen

17.06.2010, 14:56

Huggy

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Bist du so unbedarft oder tust du nur so?
Das ist ein völlig anderes Integral, weil jetzt der Sinus noch vor der Wurzel steht. Bei diesem Integral bringt dich die Substituition

$\begin{eqnarray*} y=\cos x \end{eqnarray*}$

weiter, die bei dem Integral für die Bogenlänge nichts bringt.

17.06.2010, 15:51

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
kannste das mal vormachen? bzw wenigstens anfangen... das brett vor meinem kopf ist wirklich größer als vermutet

17.06.2010, 16:13

Huggy

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Mir scheint, dein Problem geht tiefer! Wenn jemand behauptet, um das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \sin x\sqrt{1+\cos ^2 x}dx \end{eqnarray*}$

zu lösen, müsse man das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{1+\cos ^2 x}dx \end{eqnarray*}$

lösen, dann hat er bei den Grundlagen der Integralrechnung geschlafen. Nun zu der Substitution. Aus

$\begin{eqnarray*} y=\cos x \end{eqnarray*}$

ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=-\sin x \end{eqnarray*}$ , d. h. in symbolischer Schreibweise

$\begin{eqnarray*} dy=-\sin x dx \end{eqnarray*}$ .

Wenn man das einsetzt, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} \int \sin x\sqrt{1+\cos ^2 x}dx =-\int \sqrt{1+y^2}dy \end{eqnarray*}$

Und dieses Integral findest du in jeder Formelsammlung.

17.06.2010, 16:21

susi10000

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
naja ich geh mich dann mal schämen. das problem liegt bei mir glaub ich nicht in der integralrechnung. die kann ich seit 5 jahren eigentlich ganz gut. mein problem sind winkelfunktionen. wenn ich die sehe, dann gebe ich schon am anfang auf...
aber trotzdem danke

17.06.2010, 16:27

Huggy

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RE: Integral Wurzel aus 1+cos^2
Winkelfunktionen gehören zum elementaren Handwerkszeug. Da hilft nichts, außer sich noch mal dem Thema beschäftigen.

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Integral Wurzel aus 1+cos^2

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