Blaschke-Produkt und Argumentenprinzip

02.11.2006, 09:55	Goldbär	Auf diesen Beitrag antworten »
Blaschke-Produkt und Argumentenprinzip Guten Morgen allerseits, ich habe gerade einen Seminarvortrag im Rahmen der Vorlesung "Orthogonale Polynome" vorzubereiten. In meinem Vortrag soll es um orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis gehen, nur leider habe ich damit noch einige Probleme. So findet sich in dem zu behandelnden Artikel folgende Aussage: ------------------------------------- Wir wollen nun kanonische Maße konstruieren. Dazu betrachten zunächst die Funktion $\begin{eqnarray} \lambda_n(z)=\frac{z\varphi_n(z)}{\varphi^_n(z)}\ mit \ \varphi^_n(z):=z^n\overline{\varphi_n(1/\overline{z})} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \varphi_n^(z) \end{eqnarray}$ ist also das reziproke Polynom zu $\begin{eqnarray} \varphi_n(z) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ ist ein Blaschke-Produkt vom Grade n+1 mit n+1 Nullstellen auf der Kreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ . Nach dem Argumentenprinzip umläuft $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ den Einheitskreis genau n+1-mal, wenn $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ (Bem: $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ ist hierbei eine komplexe Zahl mit Betrag 1, liegt also quasi auf dem Einheitskreis) den Ursprung umläuft. Zusätzlich ist das Argument arg $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ eine streng wachsende und stetige Funktion. Aus diesen Tatsachen ergibt sich, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda_n(\zeta)=\beta \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} \beta \in \mathbb{T}=\left\{\zeta \in \mathbb{C}:\|\zeta\|=1\right\} \end{eqnarray}$ genau n+1 verschiedene Lösungen hat. ------------------------------------- Diesen Abschnitt müsste ich nun eigentlich komplett beweisen , was mir aber leider nicht gelingt, da ich viele Begriffe noch nie gehört habe und sie mir nach Literaturrecherche leider nur unzureichend klar machen konnte. Also, kann mir jemand dabei helfen, zu beweisen, dass es sich tatsächlich um ein Blaschke-Produkt vom Grade n+1 handelt? Kann mir jemand das Argumenten-Prinzip plausibel machen (vllt. anhand eines Bsp. und/oder einer Zeichung?)? Und warum folgt aus den Aussagen die Aussage über die Lösungen der angegebenen Gleichung? Die Sache mir dem wachsenden Argument dürfte ich selbst hinbekommen, damit hab ich mich aber auch noch nicht beschäftigt. Hoffe, hier findet sich jemand, der mir das näher bringen kann... Gruß Alex edit: $\begin{eqnarray} \varphi_n(z) \end{eqnarray}$ soll übrigens ein Polynom der Art $\begin{eqnarray} \varphi_n(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_1z+a_0 \end{eqnarray*}$ wobei der Leitkoeffizient größer 0 ist.
02.11.2006, 11:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachdem ich erstmal nachgelesen habe, was ein Blaschke-Produkt sein soll: Fehlen da nicht noch ein paar Angaben in deinem Beitrag? Was ist z.B. die Kreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ - soll das der Einheitskreis (inklusive Innerem) sein? Und brauchst du nicht noch Voraussetzungen für das Polynom $\begin{eqnarray} \varphi_n \end{eqnarray}$ , z.B. dass dessen Nullstellen alle in dieser Kreisscheibe liegen? In letzterem Fall folgt die Eigenschaft des Blaschke-Produkts für dein $\begin{eqnarray} \lambda_n \end{eqnarray}$ einfach aus dem Fundamentalsatz der Algebra, würde ich sagen.
02.11.2006, 12:01	Goldbär	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ja, mit $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ ist der Einheitskreis inkl Inneres gemeint. 2. $\begin{eqnarray} \varphi_n \end{eqnarray}$ ist ein auf dem Einheitskreis orthogonales Polynom, dessen Nullstellen liegen laut dem Artikel immer im Inneren des Einheitskreises, bewiesen wurde das nicht, wirklich drum gekümmert hab ich mich auch nicht. Folglich dürftest du mit deinem Fundamentalsatz wohl richtig liegen. Aber was ist mit den anderen Aussagen? Sorry, bin im Moment echt vor den Kopf geschlagen, weiß weder ein noch aus

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