Differentialgleichung erster ordnung (mal anders) |
| 17.06.2010, 13:15 | Linnatiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differentialgleichung erster ordnung (mal anders) Wir haben eine Differentialgleichung erster ordnung gegeben: y'(6xy+3x²+7) + (3y²+6xy+8x) = 0 Zu dieser Gleichung soll die allgemeine Lösung gefunden werden. Meine Ideen: Wir haben fpr y'=dy/dx eingesetzt, mit dx multipliziert und anschliessend die einzelnen terme integriert, wodurch sich diese zwar auf 4 terme zusammenkürzt, aber jeglichen weiteren Rechenweg verbaut: 6y²+7y+4x²+6x²y = 0 da das irgendwie nichtmehr zum Ziel führen kann, habe ich den gesamten term durch xy geteilt, anschließend u=y/x gesetzt y'=u+xu' gesetzt und alles ersetzt. Das Chaos erspar ich euch mal, denn was dort herausgekommen ist, kann ich ohne Formeleditor nicht gut darstellen, es endet auf jeden Fall wieder mit 6 termen, von denen 3 Brüche mit unterschiedlichen nennern sind, und selbst wenn ich den hauptnenner bilde sieht das für mich nochimmer aus wie etwas vom dem ich die Finger lassen möchte. Gibt es vielleicht einen Ansatz der mir unbekannt ist und mit dem ich diesem Gilde etwas zuleibe rücken kann? |
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| 18.06.2010, 21:24 | Muff Potter | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß zwar nicht ob Linnatiker noch mal reinschaut, aber falls ja: Stimmt die Ursprungsgleichung? 
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| 21.06.2010, 12:48 | Linnatiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo, er schaut rein und hat gehofft das irgendjemand eine schlaue Idee hatte ;-) Leider ist die Aufgabe (wie oben geschrieben richtig abgedruckt und stammt aus einer Altklausur (bzw aus zweien, in denen sie jeweils in exakt dieser Form stand) Ich habe selber ein wenig recherchiert und eine gute bekannte sagte das sie sich erinnern könne, das diese Aufgabe mithilfe der Produktintegration gelöst wurde.... das ist zwar ganz gut zu wissen, aber hilft mir nicht weiter, da ich zwar etwas geübt in den Differentialgleichungen bin und sehr in der Integration, aber bisher bei dieser Aufgabe auf Granit gebissen hab. Ich versuchs aber zumindest noch ne stunde oder 2, dann muss ich leider weiterschaffen und würde mich über Ideen, bzw Ansätze und Lösungen dieser Aufgabe sehr freuen. |
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| 21.06.2010, 13:50 | Linnatiker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke an alle die sich hier vielleicht versucht haben, aber letztendlich ist es dann doch ganz einfach... für alle Interessierten hier einmal der Lösungsweg: g(x;y)= 6xy+3x²+7 h(x;y)=3y²+6xy+8x dg/dy=dh/dx= 6x+6y - somit ist die Integrabbilitätsbedingung erfüllt uy=g(x;y) ux=h(x;y) # uy wird nun nach y integriert, man erhält: 3xy²+3x²y+7y+k(y) nun leiten wir es nach x ab und erhalten folgende Gleichung ux=3y²+6xy+8x=3y²+6xy+k'(x) weggestrichen und K' nochmal schnell integrieren und "schwupp" haben wir unsere Lösung, dessen totales differential oben als Aufgabe stand. Danke und bis demnächst edit: So erinnert es fast eher an Schulmathematik, vielleicht lag es daran das es keine Antwort gab ;-) |
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