Diagonalisieren Matrix mit Parameter

17.06.2010, 17:13	ThomasFaster	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisieren Matrix mit Parameter Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Matrix 2 0 4 a 6 0 4 0 2 Ich solle alle Eigenwerte berechnen, die Eigenvektoren dazu in Abhängigkeit von a und dann sagen, für welche Werte von a die Matrix diagonalisierbar ist.. Meine Ideen: Ich habe natürlich die Eigenwerte berechnet -2, 6, 6. Sollte stimmen. Den Eigenvektor zum Eigenwert -2 wollte ich so bestimmen (Einsetzen in die Matrix) 4 0 4 a 8 0 4 0 4 Das bringe ich auf Zeilenstufenform 4 0 4 0 32 -4a 0 0 0 Somit kann ich x3 = t setzen und erhalte x1 = -t und x2 = a*t / 8 Für den Eigenwert 6: -4 0 4 a 0 0 4 0 -4 ZSF: -4 0 4 0 0 4a 0 0 0 Jetzt wirds "schwierig" für mich. Eigentlich müsste man ja x2 als freien Parameter nehmen, ich kann jedoch die anderen zwei Parameter nicht mit x2 ausdrücken. Also müsste man ja auch x3 als freien Parameter nehmen, damit das ganze nachher diagonalisierbar ist. (Die algebraische Vielfachheit muss ja mit der geometrischen übereinstimmen, dass es diagonalisierbar ist). Jetzt ist meine Frage also, wie ich den letzten Schritt mache. Ist es nur Diagonalisierbar, wenn a = 0 und ich dann 2 freie Parameter habe? Und wie sehen die Eigenvektoren zum Eigenwert 6 aus? Besten Dank. Tom.
17.06.2010, 17:35	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisieren Matrix mit Parameter Hallo Thomas, Sieht doch soweit ganz gut aus. Beim letzten Schritt: Ist $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ so impliziert die Gleichung $\begin{eqnarray} 4ax_3=0 \end{eqnarray}$ doch schon $\begin{eqnarray} x_3=0 \end{eqnarray}$ und aus der ersten Gleichung folgt $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ . Da kann also nicht so viel passieren. Der Eigenraum hat die Dimension 1. Ist $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ so hast Du nur noch die Gleichung $\begin{eqnarray} -x_1+x_3 \end{eqnarray}$ da stehen. Zwei linear unabhängige Eigenvektoren zu finden, die diese Gleichung erfüllen, sollte da nicht so schwer sein. Gruß, Reksilat.
17.06.2010, 17:40	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisieren Matrix mit Parameter zuerst einmal hast du richtig erkannt, dass die geometrische und die algebraische vielfachheit der eigenwerte gleich sein muss, damit man eine matrix diagonalisieren kann. weiterhin ist richtig, dass du dazu zwei parameter benötigst, also a=0. wenn du x_2 parametrisierst und die zweite zeile (4ax_3=0) ist, so kann auch x_3=0 sein und x_1=0, damit hättest du den eigenvektor (0,1,0), also den zweiten einheitsvektor des R^3. edit: zu spät.....

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