Satz von Stockes

17.06.2010, 19:24

Lampenregen

Satz von Stockes

Meine Frage:
Hallo ihr,

Ich bin mir nicht ganz im klaren darüber warum der Satz von Sotckes funktioniert.
Von der einen Seite dachte ich, dass wenn man über eine geschlossene Kurve integriert das ergebnis Null ist. Von der anderen Seite ist der Satz von Stockes da, der besagt, dass ein Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve eines Vektorfeldes gleich dem Flächenintegral der Rotation des selben Vektorfeldes ist.

Meine Ideen:
Hängt das damit zusammen, dass die Fläche die durch das Vektorfeld beschrieben wird gekrümmt ist, oder schmeisse ich völlig verschiedene Aussagen in den gleichen Topf?
Ich danke euch schon mal für eine Antwort!

17.06.2010, 20:12

system-agent

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RE: Satz von Stockes

Zitat:

Original von Lampenregen
Von der einen Seite dachte ich, dass wenn man über eine geschlossene Kurve integriert das ergebnis Null ist.

Das ist lange nicht für jede Kurve der Fall. Nur falls man ein Potentialfeld erwischt hat und in diesem herumintegriert.

Ich kann dir leider keine gute anschauliche Antwort geben warum der Satz funktioniert, das steht im Beweis dazu Augenzwinkern

17.06.2010, 21:01

Lampenregen

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Das bedeutet, dass mein Vektorfeld bei dem Satz von Stockes auf keinen Fall ein Potentialfeld sein darf, wenn ich ein nicht triviales Ergebnis haben möchte.

Gilt das auch fü den Satz von Gauß? (Da Dieser ein Spezialfall des Satzes von Stockes ist.)

Und wie würde das ganze auf koplexer Ebene aussehen? Kann man diesen Satz auch im Komplexen anwenden, oder gibt es dazu eine Alternative?

17.06.2010, 23:06

system-agent

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Der Typ hiess Stokes, nicht Stockes Augenzwinkern

.

Dein Vektorfeld darf natürlich ein Potentialfeld sein. Ich meinte nur dass deine Aussage falsch ist von wegen dass jedes Kurvenintegral über jede geschlossene Kurve eines Vektorfeldes Null ist.

Du musst ein bischen aufpassen:
Der klassische Satz von Stokes beinhaltet die Rotation - und das ist zunächst einmal nur für ein Vektorfeld in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sinnvoll.

Der allgemeine Satz von Stokes beinhaltet keine solche lästigen Beschränkungen. Dazu braucht man im wesentlichen einfach eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Im Komplexen kann man das schon auch anwenden, sofern man $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als eine 2-dimensionale (reelle) Mannigfaltigkeit ansieht.

18.06.2010, 15:39

Lampenregen

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Zitat:

Original von system-agent
Der Typ hiess Stokes, nicht Stockes Augenzwinkern

Danke, sonst hätte ich seinen Namen wahrscheinlich noch öffter falsch geschrieben Hammer

Zitat:

Original von system-agent
Dein Vektorfeld darf natürlich ein Potentialfeld sein.

Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe, dann wäre sowohl das Kurvenintegral, wie auch das Integral über die Rotation ( v element $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) gleich Null, wenn v ein Potentialfeld ist.

Zitat:

Original von system-agent
Ich meinte nur dass deine Aussage falsch ist von wegen dass jedes Kurvenintegral über jede geschlossene Kurve eines Vektorfeldes Null ist.

Du musst ein bischen aufpassen:
Der klassische Satz von Stokes beinhaltet die Rotation - und das ist zunächst einmal nur für ein Vektorfeld in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sinnvoll.

Der allgemeine Satz von Stokes beinhaltet keine solche lästigen Beschränkungen. Dazu braucht man im wesentlichen einfach eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Ok, das habe ich verstanden Freude

Zitat:

Original von system-agent
Im Komplexen kann man das schon auch anwenden, sofern man $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als eine 2-dimensionale (reelle) Mannigfaltigkeit ansieht.

Heißt das, ich den (allgemeinen) Satz in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nur anwenden, wenn ich eine reelle Mannigfaltigkeit betrachte?

18.06.2010, 17:14

system-agent

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Zitat:

Original von Lampenregen
Wenn ich jetzt alles richtig verstanden habe, dann wäre sowohl das Kurvenintegral, wie auch das Integral über die Rotation ( v element $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ) gleich Null, wenn v ein Potentialfeld ist.

Schau zb mal hier.

Zitat:

Original von Lampenregen
Heißt das, ich den (allgemeinen) Satz in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nur anwenden, wenn ich eine reelle Mannigfaltigkeit betrachte?

Nein, man betrachtet $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als eine reelle Mannigfaltigkeit; teilt also alle vorkommenden Differentialformen auf in ihren Real- und Imaginärteil. Ich will mich aber nicht darauf festnageln lassen, dass es für komplexe Mannigfaltigkeiten kein Analog von Stokes gibt, denn das weiss ich nicht.

18.06.2010, 17:17

Lampenregen

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Vielen Dank smile

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