Differentialgleichung lösen

17.06.2010, 19:35

BanachraumK_5

Differentialgleichung lösen

Für die Funktion $\begin{eqnarray*} f \in C^2(\mathbb{R}^3) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{3^\frac{1}{4}}{\sqrt{1+ \Vert x \Vert^2}} \end{eqnarray*}$ möchte ich

$\begin{eqnarray*} -\Delta f = f^5 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Kann mir mal einer sagen wo mein Rechenfehler liegt ich bekomme nämlich

$\begin{eqnarray*} \Delta f = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot (1+x_1^2 + ... + x_3^2)^{\frac{-3}{2}} \cdot [1 - (1+x_1^2 + ... + x_3^2)^{-1}(x_1^2 + ... + x_3^2)] \end{eqnarray*}$ habe ich falsch abgeleitet weil für $\begin{eqnarray*} f(x)^5 \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} 3^{\frac{5}{4}} \cdot (1+x_1^2 + ... + x_3^2)^{\frac{-5}{2}} \end{eqnarray*}$

Kann mir da mal jmd. auf die Sprünge helfen.

18.06.2010, 09:15

Rmn

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RE: Differentialgleichung lösen
$\begin{eqnarray*} f(x) =3^\frac14(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac12} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{x_i}(x) =-3^\frac14 (1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac32}x_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{x_ix_i}(x) =-3^\frac14 \left[(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac32} - 3x_i^2(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac52} \right]=-3^\frac14 (1+ \Vert x \Vert^2 - 3x_i^2 )(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac52} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\Delta f(x) = -\sum f_{x_ix_i}(x) = 3^\frac14 (3+ 3\Vert x \Vert^2 - 3x_1^2-3x_2^2-3x_3^2 )(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac52}= 3^\frac54(1+ \Vert x \Vert^2)^{-\frac52} \end{eqnarray*}$

19.06.2010, 11:36

BanachraumK_5

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Danke. Hatte nicht gesehen, dass man den Term auch noch erweitern kann. geschockt

Nochmal ne andere Frage, da das Thema neu für mich ist; Was heißt denn genau die DGL wird punktweise gelöst ? Das heißt für jedes x aus dem Definitionbereich stimmt die Gleichung.

Welche Möglichkeiten gibt es noch (im nicht punktweisen Sinn) ??

19.06.2010, 17:50

BanachraumK_5

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19.06.2010, 20:36

Rmn

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Das weiß ich nicht, zu zeigen, dass f(x) die Gleichung erfüllt, hat noch gar nichts mit "lösen" dieser Differentialgleichung zutun. Von "DGL wird punktweise gelöst" habe ich noch nie gehört.

19.06.2010, 21:18

gonnabphd

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Wie soll man denn eine DGL punktweise lösen? Zu einer diff'baren Funktion gehört ja a priori schon eine offene Definitionsmenge, daher wäre doch das Minimum eine "lokale" Lösung.

20.06.2010, 00:26

BanachraumK_5

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Also in der Aufgabenstellung steht ganz klar drinne wortwörtlich:
"Zeigen sie dass U die Differentialgleichung im klassischen (d.h. punktweisen) Sinn löst."

Also ist es nicht richtig wenn ich einfach zeige dass tatsächlich $\begin{eqnarray*} (*)\ -\Delta u = u^5 \end{eqnarray*}$ ist also einfach nachrechnen wie ich es oben gemacht habe ??

Und gegeben habe ich $\begin{eqnarray*} U(x) := \frac{3^{1/4}}{\sqrt{1+ \Vert x \Vert^2}} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ .

Also ich verstehe punktweise, dass für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Ich hoffe das stimmt ich benötige nämlich noch Punkte auf meine Übungsaufgaben ?

Zitat:

Das weiß ich nicht, zu zeigen, dass f(x) die Gleichung erfüllt, hat noch gar nichts mit "lösen" dieser Differentialgleichung zutun

Wieso? Wenn für U (*) gilt ist U doch ein Lösung ?

20.06.2010, 16:26

BanachraumK_5

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O.K. hat hier noch niemand gehört was es bedeutet wenn eine DGL. im klassischen Sinn gelöst wird, dann werde ich morgen meinen Professor fragen.

20.06.2010, 18:10

system-agent

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Kann es sein dass ihr auch über die schwache Formulierung einer DGL geredet habt?

Eine gegebene Funktion löst die DGL im klassischen Sinne wenn die gegebene Funktion die Gleichung erfüllt.
Im schwachen Sinne sucht man aber keine einzelne Funktion mehr die das tut, sondern arbeitet mit ganzen Klassen von Funktionen. Und dort macht die Notion "Punktweise" schlicht keinen Sinn mehr [da zwei Funktionen in derselben Klasse liegen, wenn sie fast überall gleich sind].

20.06.2010, 19:08

BanachraumK_5

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Zitat:

Kann es sein dass ihr auch über die schwache Formulierung einer DGL geredet habt?

Ja wir haben die schwache Lösung des Randwertproblems besprochen. Das ist auch mehr oder weniger Thematik der Vorlesung.

Zitat:

Eine gegebene Funktion löst die DGL im klassischen Sinne wenn die gegebene Funktion die Gleichung erfüllt.

O.K. wenn das so ist habe ich die Aufgabe richtig gelöst. Dann müsste es stimmen.

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