Teilfolge auswählen

17.06.2010, 19:08

lisaxx

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Zu einer beschränkten Folge aus einem Banachraum mit
fn = a1nb1 + ... + aNnbN kann man wegen der Beschränktheit von der Norm von ain eine konvergente Teilfolge auswählen. Warum geht das? Letzteres ist ja im Reellen und da kann man ja den Bolzano-Weierstraß anwenden. Aber was bringt es mir zu wissen, dass die ain`s eine konvergente Teilfolge enthalten?
Entschuldigt bitte, dass ich die Formeln nicht richtig schreibe, aber ich habe noch nicht herausgefunden wie das geht.

17.06.2010, 19:20

GastMathematiker

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RE: Teilfolge auswählen

Zitat:

Original von lisaxx
Zu einer beschränkten Folge aus einem Banachraum mit
fn = a1nb1 + ... + aNnbN kann man wegen der Beschränktheit von der Norm von ain eine konvergente Teilfolge auswählen. Warum geht das? Letzteres ist ja im Reellen und da kann man ja den Bolzano-Weierstraß anwenden. Aber was bringt es mir zu wissen, dass die ain`s eine konvergente Teilfolge enthalten?
Entschuldigt bitte, dass ich die Formeln nicht richtig schreibe, aber ich habe noch nicht herausgefunden wie das geht.

Auch hier wieder, erklär zumindestens was die einzelnen a und b und n sein sollen. Gibt es weitere Vorraussetzungen an den Banchraum? Ausserdem wäre ein Zusammenhang nicht schlecht.

(Ich könnte hier raten, was das sein soll, was du schreibst, aber da könnte ich ehrlich gesagt auch weit daneben liegen)

17.06.2010, 19:30

lisaxx

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RE: Teilfolge auswählen
ok. Sorry.
fn ist eine Folge von Linearkombinationen.
Jedes Element aus B kann durch f dargestellt werden. bi ist die Basis, ai die Koeffizienten der einzelnen Linearkombinationen.

17.06.2010, 19:32

GastMathematiker

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RE: Teilfolge auswählen

Zitat:

Original von lisaxx
ok. Sorry.
fn ist eine Folge von Linearkombinationen.
Jedes Element aus B kann durch f dargestellt werden. bi ist die Basis, ai die Koeffizienten der einzelnen Linearkombinationen.

Also verstehe ich richtig, dass wir uns in einem endlichdimensionalen normierten Raum befinden?

17.06.2010, 19:38

lisaxx

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ja der Banachraum, aus dem die Folge fn stammt ist endlichdimensional nach Voraussetzung

17.06.2010, 19:47

GastMathematiker

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OK, es gilt
$\begin{eqnarray*} ||a_{1,k}\cdot b_1+a_{2,k}\cdot b_2+...+a_{n,k}\cdot b_n||\geq||a_{1,k}\cdot b_1||=|a_{1,k}|\cdot||b_1|| \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} ||b_1|| \end{eqnarray*}$ konstant, also ist die Folge $\begin{eqnarray*} |a_{1,k}|_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ beschränkt, damit kann man eine beschränkte Teilfolge daraus auswählen (Bolzano-Weierstrass in R). Analog mit den anderen a

17.06.2010, 19:55

lisaxx

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Das verstehe ich noch nicht richtig. ai ist beschränkt und besitzt somit nach Bolzano-W eine konvergente Teilfolge. Das ist mir soweit klar. Aber warum kann man dann daraus schließen, dass auch fn eine konvergente Teilfolge besitzt?

17.06.2010, 21:20

GastMathematiker

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Zitat:

Original von lisaxx
Das verstehe ich noch nicht richtig. ai ist beschränkt und besitzt somit nach Bolzano-W eine konvergente Teilfolge. Das ist mir soweit klar. Aber warum kann man dann daraus schließen, dass auch fn eine konvergente Teilfolge besitzt?

Man findet also eine Teilfolge, sodass alle $\begin{eqnarray*} (a_{i,k})_k \end{eqnarray*}$ konvergieren gegen ein $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ , damit konvergiert die Ursprungs-(teil)-folge aber gegen $\begin{eqnarray*} a_1b_1+...+a_nb_n \end{eqnarray*}$

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