Lineare Abbildungen

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17.06.2010, 21:31	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen Hallo Leute, die folgende Aufgabe bereitet mir wie ein paar andere Aufgaben Probleme, da ich leider nicht in einer Vorlesung anwesend sein konnte. Aufgabe Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung zwischen reellen Vektorräumen? Begründen Sie ihre Antwort! (i) $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^2 ---> \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit f $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \\ 7y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (ii) g : $\begin{eqnarray} \mathbb R --> \mathbb R \end{eqnarray}$ mit g(x) = 2x +1. (iii) h : $\begin{eqnarray} \mathbb R^7 --> {0} \end{eqnarray}$ (iv) p : $\begin{eqnarray} \mathbb C --> \mathbb C \end{eqnarray}$ mit p(z) = $\begin{eqnarray} \vec{z} \end{eqnarray}$ ( über dem z soll eigentlich nur ein Strich sein, aber hab mit Latex nur diese Schreibweise hinbekommen. ) (v) $\begin{eqnarray} ev_3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb R[X] --> \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ev_3 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ ) = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0}3^ia_i \end{eqnarray}$ (vi) $\begin{eqnarray} \frac{\Im }{\Im X} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb R[X] --> \mathbb R[X] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{\Im }{\Im X} ( \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 1} ia_iX^{i-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen Ich bin mir da bisher leider noch etwas unschlüssig , wie ich da richtig rangehen soll. Also Bedingungen dafür, dass diese Abbildungen eine lineare Abbildung sein soll habe ich folgende : - die Abbildung muss ein Gruppenhomomorphismus sein - $\begin{eqnarray} \Im (\lambda v) = \lambda \Im (v) \end{eqnarray}$ Für die Eigenschaft ein Gruppenhomomorphismus zu sein muss ja gelten : $\begin{eqnarray} \Im ( a , b ) = \Im ( a ) \otimes \Im ( b ) \end{eqnarray}$ Nur wie überprüfe ich diese Gültigkeit nun zum Beispiel bei (i)? ( Von den Abbildungen ab (iv) mal ganz zu Schweigen ) Meine bisherige Lösungsidee wäre folgende : Ich nehm nun statt x und y : a , b , c und d , dann sieht das ganze folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} \Im \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix} = \Im \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + \Im \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung muss ja nun auf ihre Gleichheit überprüft werden. Also löse ich das ganze einfach mal nach Abbildungsvorschrift auf : $\begin{eqnarray} \Im \begin{pmatrix} a+b \\ c+d \end{pmatrix} = \Im \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + \Im \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (a+b)+(c+d) \\ (a+b)-(c+d) \\ 7(c+d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ a-c \\ 7c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b+d \\ b-d \\ 7d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a+b+c+d \\ a+b-c-d \\ 7(c+d) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b+c+d \\ a+b-c-d \\ 7(c+d) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das heißt es ist also ein Gruppenhomomorphismus. Nun geht es weiter damit, dass man ein Skalar entweder vor der Abbildungsanwendung anweden kann, wie auch nach Abbildungsanwendung. Da das ganze ein Gruppenhomomorphismus ist denke ich mir, kann man das Lambda ja ganz normal aus der Klammer rausziehen und zuerst die Abildung anwenden und dann dieses Bild mit Lambda verknüpfen. Ist das so korrekt? Wenn nein, wie kann ich denn soetwas überprüfen? Vielen dank für eure Zeit und eure Antworten.
17.06.2010, 21:45	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \\ 7y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da gibt es ja im Grunde nur 2 Dinge zu zeigen. Da beweisen oder widerlegen soll, ist ein guter Tipp f(0)=0 zu prüfen. Das stimmt hier ja schon mal. http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...male_Definition $\begin{eqnarray} f( a\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} ax \\ ay \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} ax+ay \\ ax-ay \\ 7ay \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \\ 7y \end{pmatrix} = a f(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} x+u \\ y+v \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} x+u+y+v \\ x+u-y-v \\ 7y+7v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \\ 7y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u+v \\ u-v \\ 7v \end{pmatrix} =f( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) +f(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Passt also. Ich hoffe, du kannst das nun auf die anderen Aufgaben übertragen.
17.06.2010, 22:12	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das ist ja im Prinzip nicht sehr viel anders als meins, mit meinem Nur etwas mehr Schreibarbeit. ^^ Das mit dem Skalar hatte ich mir auch schon genauso gedacht. Wahrscheinlich hätte ich es aber formal nicht so gut aufschreiben können, wie du mir da gezeigt hast danke dafür. Gehen wir mal zu (ii) über, denn da habe ich festgetellt, dass es wohl nichtmals ein Homomorphismus ist. Dazu nehme ich einfach mal ein Gegenbeispiel : g ( 2 ) = 5 Das soll ja praktisch das Gleiche sen wie g ( 1 ) + g ( 1 ) = 3 + 3 ) 6 Da das nicht gleich ist, bin ich mit dieser Abbildung ja praktisch fertig. ^^ (iii) h ( a , b ) = h ( a ) + h ( b ) , nach unserer Abbildungsdefinition ist das ja sofort {0} = {0} + {0} = {0} h ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ a ) = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ h ( a ) {0} = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ {0} = {0} Also haben wir auch bei (iii) eine lineare Abbildung vorliegen. (iv) Hier bräuchte ich wohl erstmal deine Hilfe um zu erkennen, was dieses $\begin{eqnarray} \vec{z} \end{eqnarray}$ überhaupt sein soll.
17.06.2010, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
(ii) Wie gesagt 0 ist das einfachste Gegenbeispiel (iii) die Nullabbildung ist linear (iv) komplex konjugiert. $\begin{eqnarray} p:~ \mathbb C\to \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p(z)= \overline{z} \end{eqnarray}$ http://de.wikipedia.org/wiki/Konjugation_%28Mathematik%29
17.06.2010, 23:19	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm den Tipp habe ich wohl irgendwie direkt nach dem Lesen schon vergessen. Naja im Nachinein ist man immer schlauer. (iv) ist nicht ganz einfach für mich, da ich in der entsprechenden Vorlesung gefehlt habe. Also die Abbildung sieht dann so aus : p( a + bi ) ---> a - bi Dann nehme ich mal z = a + bi und ein x = c + di. Für diese beiden soll ja gelten : p ( z + x ) = p ( z ) + p ( x ) Dann löse ich einfach mal auf beiden Seiten wieder gleichmäßig auf und hoffe, dass am Ende auf beiden Seiten das Selbe steht. p ( { a + bi } + { c + di } = p ( a + bi ) + p ( c + di ) p ( a + c +i { cd } ) = a - bi + c - di a + c - i ( cd ) = a - bi + c - di a + c - bi - di = a - bi + c - di Damit ist es schonmal ein Gruppenhomomorphismus. Ich hoffe ich habe die Addition der komplexen Zahlen richtig gemacht, die musste ich auch nochmal nachsehen. ^^ Fehlt also noch zu zeigen das : *p ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ z ) = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ p ( z )* p ( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ a + $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bi ) = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ( a - bi ) $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ a - $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bi = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ a - $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ bi edit : Damit ist dies also auch eine lineare Abildung edit 2 : Kann es sein, dass ich bei (v) und (vi) das überprüfen kann, wenn ich mir 2 verschiedene i anschaue?Das heißt ja dann, dass ich mir 2 verschiedene Polynome anschaue. Ich probiere das jetzt gerade für i = 0 und i = 1 aus und schreibe dann demnächst meine Ergebnisse rein. edit 3 : Hier also nun meine Ergebnisse Mit i = 0 sieht mein Polynom ja so aus : $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Mit i = 1 sieht das Polynom so aus : aX Dann muss nun also gelten : $\begin{eqnarray} ev_3 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ + aX ) = a ( $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ) + a ( aX ) $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ Nun bin ich mir unschlüssig, was ich aus diesem Eregbnis ziehen kann. Ich würde sagen, dass diese beiden Seiten nicht gleich sind, weil diese ja für verschiedene Variablen - zumindestens für die rechte Seite einsetzbar - nicht gleich ist.Aber die Gleichheit muss natürlich unabhängig von irgendwelchen Variablen in den Polynomen gelten. Also wäre dies keine lineare Abbildung.
17.06.2010, 23:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Skalaren hast du nicht beachtet, dass es ein C-Vektorraum ist. $\begin{eqnarray} p(\lambda (a+bi)) = \overline{\lambda(a+bi)} = \overline{\lambda} \cdot \overline{(a+bi)} = ... \end{eqnarray}$ (vi) ist ja gerade die Ableitungsfuntkion von Polynomen... Und für Ableitungen gelten ja Regeln... das sollte motivieren, ob Beweis oder Gegenbeweis.
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17.06.2010, 23:41	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was dieser Strich über den Werten bedeuten soll. Könntest du mir das bitte erklärenßHabe auch auf der Seite keine Erklärung dazu gefunden. ps : Dass das die Ableitung ist hätte ich ja auch selber sehen können hehe. Allerdings hatten wir in der Vorlesung noch keine Ableitungsregeln, auch wenn ich diese natürlich kenne. Naja mal schauen, was ich da zu stande kriege. Auf jedenfall danke soweit.
17.06.2010, 23:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugiert, steht doch in dem Link. Da sind überall Striche drüber.
17.06.2010, 23:47	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch genaues Hinsehen habe ich das mit dem Strich wohl nun verstanden. Wie machst du eigentlich so einen Strich hier über einen Buchstaben?
17.06.2010, 23:48	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
quote me. \overline{ }
18.06.2010, 00:03	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe bei (vi) jetzt mittlerweile verstanden, dass da jede Polynomfunktion auf seine Ableitung abgebildet wird. ( Diese Abbildung ist doch glaube ich ein Isomorphismus oder? ) Ich kann auch die Korrektheit zeigen, dass man Skalare vorher wie auch nachher verknüpfen kann. Aber ich finde irgendwie keinen gescheiten Anfang um zu zeigen, dass dies ein Homomorphismus ist. Oder sind Isomorphismen gleichzeit auch Homomorphismen?Ich will das jetzt mal nicht voreilig behaupten. Und was heißt denn quote me? Eine Frage nach der Anderen.
18.06.2010, 00:08	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begriffe der ... morphismen schlägst du am besten mal nach. Ich mag nun nicht alle aufzählen. Quote me - zitiere mich - dann siehst du den latex code.
18.06.2010, 00:14	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hätte ich auch von selber nachschlagen können. Habe nun im Internet folgende Definition auf wiki gefunden : Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus, wenn: f bijektiv ist, f ein Homomorphismus ist, die Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist Bisher weiß ich nur sicher von dieser Abbildung, dass sie bijektiv ist. Das bedeutet wohl, dass ich wieder am Anfang stehe und ich doch ganz klar zeigen muss, dass es ein Homomorphismus ist. Ich versuchs dann mal weiter. ^^
18.06.2010, 00:38	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok neuer Versuch : Ich habe mir gedacht , ich zeige das ganze mal mit 2 unterschiedlichen Indize. Ich benutze nun als Abbildungsbezeichnung einfach ein p. ^^ Das sieht dann wie folgt aus: Ich habe 2 Polynomsummen a = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ und b = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0 / j \geq o} a_j X^i \end{eqnarray}$ Für diese beiden soll nun gelten p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0 / j \geq o} a_j X^i \end{eqnarray}$ ) = p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ ) + p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0 / j \geq o} a_j X^i \end{eqnarray}$ ) Dann versuche ich das ganze nun wieder nch Abbildungsvorschrift aufzulösen. p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0 / j \geq o} a_j X^i \end{eqnarray}$ ) = p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i \end{eqnarray}$ ) + p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 0 / j \geq o} a_j X^i \end{eqnarray}$ ) p ( $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i \geq 0 / j \geq 0} ( a_i + a_j ) X^i ) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i\geq 1} ia_i X^{i-1} + \sum\limits_{i \geq 1 / j \geq 0} i a_j X^{i-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i \geq 1 / j \geq 0} i ( a_i + a_j ) X^{-1} = \sum\limits_{i \geq 1 / j \geq 0} i ( a_i + a_j ) X^{-1} \end{eqnarray}$ Und damit wäre es auch ein Gruppenhomomorphismus. Ich bin gespannt auf die Antwort. ^^
18.06.2010, 00:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Boah... werden wir noch fertig. Ich dachte die hättest du schon 2 Vektoren aus dem VR der Polynome: $\begin{eqnarray} a:= \sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i,~b:= \sum\limits_{i\geq 0} b_i X^i \end{eqnarray}$ Index kann gleich sein, aber die Koeffizienten können anders sein. $\begin{eqnarray} f(a+b) = f(\sum\limits_{i\geq 0} a_i X^i+\sum\limits_{i\geq 0} b_i X^i) )=f(\sum\limits_{i\geq 0}\left((a_i+b_i) X^i\right) =\sum\limits_{i\geq 1}\left(i(a_i+b_i) X^{i-1}\right) = ... \end{eqnarray}$
18.06.2010, 00:53	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe nicht ganz. Ok habs aber jetzt auch verstanden. ^^ Tausend dank erstmal. Jetzt ist aber auch Schluss für heute. Morgen Abend bin ich vielleicht wieder mit einer Aufgabe hier. hehe Gn8 dir.
18.06.2010, 00:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hehe, da hab ich frei.

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