Potential und Holomorphie

17.06.2010, 22:03

Potential und Holomorphie

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

A) um zu überprüfen ob ein Vektorfeld V ein Potential h besitzt, kann ich überprüfen ob die Gleichung: dv_i/dx_j = dv_j/dx_i stimmt. Wobei V=grad h ist.

B)Wenn ich in die Koplexe Zahlenebene gehe, existieren da ähnliche Gleichungen, die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, mit denen man überprüfen kann ob eine Funktion holomorph ist.
Eine Funktion ist holomorph wenn sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist.

Jetzt habe ich mehrere Fragen zu diesem Zusammenhang:

1) Wie kann ich diese beiden Aussagen miteinander in Verbindung bringen?

2) A) besagt dass ich ein Vektorfeld integrieren kann um so ein Potential zu erhalten. B) macht nur eine Aussage zur Differenzierbarkeit, besser Holomorphie. Also gibt es im Komplexen keine Potentiale? Oder Vektorfelder?

3) Wenn es darum geht um geschlossene Kurven zu integrieren dann ist bei A) und B) das Ergebnis gleich Null. Allerdings gibt es Vektorfelder ohne ein Potential, womit ein Kurvenintegral über so ein Vektorfeld nicht Null ist. Trifft das auch auf komplexe Funktionen zu, die nicht holomorph sind?

4) Kann man diese Funktionen wenigstens integrieren? Und auf diese Art eine holomorphe Funtion erschaffen?

Meine Ideen:
1) Es besteht auf jeden Fall ein Zusammenhang zwischen A) und B), allerdings sieht meine Vermutung so aus, dass ich Potential und Holomorphie anfange auf eine Ebene zu stellen... (Ich glaube nicht, dass das richtig sein kann)

2) Wahrscheinlich werden im Komplexen Vektorfelder durch Funktionten ersetzt, die selbst aus Funtionen bestehen. Aber was ist mit den Potentialen?

3) Ich demke schon, dass es solche Funktionen geben muss, weiß aber nicht wie sie aussehen.

4) keine Ahnung.

Das ist ein ganz großes Paket an Fragen, deswegen bin ich für jede Antwort sehr dankbar!!!

17.06.2010, 23:00

gonnabphd

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Zitat:

3) Wenn es darum geht um geschlossene Kurven zu integrieren dann ist bei A) und B) das Ergebnis gleich Null. Allerdings gibt es Vektorfelder ohne ein Potential, womit ein Kurvenintegral über so ein Vektorfeld nicht Null ist. Trifft das auch auf komplexe Funktionen zu, die nicht holomorph sind?

4) Kann man diese Funktionen wenigstens integrieren?

Natürlich. Integrieren kann man "so ziemlich alles". Holomorph sind aber nur sehr wenige Funktionen.
Passend zu dieser Thematik auch hier.

Zitat:

... Und auf diese Art eine holomorphe Funtion erschaffen?

Nein, denn die Ableitung einer holomorphen Funktion ist wiederum holomorph.

18.06.2010, 15:47

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Dankeschön, das hat mich jetzt ein Stück weiter gebracht smile

Hast du oder jemand anderes vielleicht auch eine Idee zu den ersten beiden Fragen? Vor allem wurmt mich das mit den vielleicht nicht vorhandenen Potentialen im Komplexen verwirrt

Wär echt cool, wenn jemand dazu einen Vorschlag hätte Gott

01.07.2010, 19:47

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Hat keiner mehr eine Idee zu den ersten beiden Fragen unglücklich

01.07.2010, 23:58

system-agent

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Mir scheint du stellst da wirklich etwas auf die gleiche Ebene.

Zunächst solltest du hier zwischen den Betrachtungsweisen unterscheiden.
Eine holomorphe Funktion ist eine Funktion die komplexe Zahlen nimmt und wieder komplexe Zahlen liefert, das hat a priori nichts mit etwas reellem zu tun.

Natürlich kann man jede holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f=u+iv \end{eqnarray*}$ auch auffassen als eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ [via ihr Real- und Imaginärteil $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ], dann ist sie ein Vektorfeld.

Nun kann man für dieses Vektorfeld wieder die Frage nach Potentialen etc stellen.
Beantwortet man aber diese Frage wie von dir angedeutet, dann kriegt man eine Antwort im reellen Sinne, also zb. falls es doch ein Potential besitzt, dann heisst das nur, dass es eine reellwertige Funktion gibt, deren Gradient gerade das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} (u,v) \end{eqnarray*}$ produziert.
Dann sagt das aber wieder a priori nichts über Holomorphie oder sonstwas aus.

02.07.2010, 07:44

Leopold

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Schreibt man kanonisch $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f = u + \operatorname{i} v \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem Gebiet der komplexen Ebene definiert sein möge, so ist die Holomorphie von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einerseits gleichbedeutend mit komplexer Differenzierbarkeit und andererseits in reeller Interpretation mit dem Bestehen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\begin{eqnarray*} u_x = v_y \, , \ \ u_y = -v_x \end{eqnarray*}$

Man kann die Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega = f~\dd z \end{eqnarray*}$ in ihren Real- und Imaginärteil zerlegen:

$\begin{eqnarray*} \omega = \left( u + \operatorname{i}v \right) \left( \dd x + \operatorname{i} \dd y \right) = \xi + \operatorname{i} \eta \ \ \text{mit} \ \ \xi = u~\dd x - v~\dd y \, , \ \eta = v~\dd x + u~\dd y \end{eqnarray*}$

Einfach formal ausmultiplizieren und nach Real- und Imaginärteil trennen.

Du kannst nun unter Verwendung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen leicht überprüfen, daß für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ die Bedingungen für lokale Exaktheit erfüllt sind. Für die globale Exaktheit kommt es dann auch noch auf die Topologie des Gebiets an.

Real- und Imaginärteil einer holomorphen Differentialform sind also von alleine lokal exakt.

Ein einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(z) = z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega = \left( \left( x^2 - y^2 \right) + \operatorname{i} \cdot 2xy \right) \left(\dd x + \operatorname{i} \dd y \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( \left( x^2 - y^2 \right)~\dd x - 2xy~\dd y \right) + \operatorname{i} \left( 2xy~\dd x + \left( x^2 - y^2 \right)~\dd y \right) \end{eqnarray*}$

Für

$\begin{eqnarray*} \xi = \underbrace{\left( x^2 - y^2 \right)}_{p}~\dd x + \underbrace{ \left( -2xy \right)}_{q}~\dd y \end{eqnarray*}$

gilt nun

$\begin{eqnarray*} p_y = -2y = q_x \end{eqnarray*}$

Entsprechendes kannst du auch für $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ nachweisen.

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