Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln

18.06.2010, 11:38

CT2500

Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln

Hallo!

Wie kann ich folgende Komplexe Zahl in die trigonoetrische Forum umwandeln?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3-3i} \end{eqnarray*}$

die formel für die trigonometrische Form lautet ja: z=r (cos(phi) + i sin(phi) , während r= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x² + y²} \end{eqnarray*}$

hier kann ich aber weder Realteil noch Imaginärteil einfach ablesen.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3-3i} \end{eqnarray*}$ kann ich ja als (3-3i)^1/2 schreiben... nun weiss ich nicht mehr weiter unglücklich

bin für jede hilfe dankbar

18.06.2010, 12:06

Mathewolf

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Ihr habt doch sicherlich im Unterricht die Gauß'sche Zahlenebene zur Darstellung komplexer Zahlen behandelt, in der die relle Axe die Abszisse und die imaginäre Axe die Ordinate ist. Zeichne dir das doch einfach mal auf.

Jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=\alpha+\beta i,\ \alpha,\beta\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ hat dann die kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$

Du erhältst dann folgende Transformationsgleichungen:

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\alpha^2+\beta^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi = \arg\tan\frac{\beta}{\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=r\cos\varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta=r\sin\varphi \end{eqnarray*}$

Und das musst du dann nur noch in die Darstellungsgleichung der komplexen Zahl einsetzen.

$\begin{eqnarray*} z=\alpha+\beta i = r\cos\varphi+i\sin\varphi \end{eqnarray*}$

18.06.2010, 12:24

CT2500

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Ja das ist mir soweit alles klar nur kann ich bei meinem Beispiel nicht so einfach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ablesen oder?

18.06.2010, 13:26

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln

Zitat:

Original von CT2500
Wie kann ich folgende Komplexe Zahl in die trigonoetrische Forum umwandeln?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3-3i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich sowas sehe, habe ich ein grundsätzliches Problem: wie soll die Wurzel aus einer komplexen Zahl definiert sein? verwirrt

18.06.2010, 13:47

Erdnuckel

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Braucht man hier die Formel von Moivre?

18.06.2010, 16:13

BarneyG.

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Zitat:

wie soll die Wurzel aus einer komplexen Zahl definiert sein?

Vielleicht ganz einfach als (komplexe) Lösung der Gleichung x² = c Big Laugh

Setze x = a + b * i

Dann suchen wir doch die Lösungen der Gleichung

(a + b * i)² = 3 - 3i

Aufgelöst erhalten wir

a² - b² + 2ab * i = 3 - 3i

Jetzt vergleichen wir Real- und Imaginärteil und erhalten das folgende Gleichungssystem:

(1) a² - b² = 3
(2) 2ab = -3

Na, und das sollte doch zu lösen sein. Big Laugh

Wenn ich nicht so ganz daneben liege, dann liefert mir das vier verschiedene Lösungen für mein gesuchtes x ...

Grüße

18.06.2010, 18:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von BarneyG.
Vielleicht ganz einfach als (komplexe) Lösung der Gleichung x² = c Big Laugh

Diese Gleichung kann mehrere Lösungen haben. Womit ich wieder bei meiner Eingangsfrage bin.

Zitat:

Original von BarneyG.
Wenn ich nicht so ganz daneben liege, dann liefert mir das vier verschiedene Lösungen für mein gesuchtes x ...

Auch in den komplexen Zahlen kann eine quadratische Gleichung maximal 2 verschiedene Lösungen haben. Augenzwinkern

18.06.2010, 19:47

Huggy

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RE: Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich sowas sehe, habe ich ein grundsätzliches Problem: wie soll die Wurzel aus einer komplexen Zahl definiert sein? verwirrt

Wie ist diese Frage gemeint?
Geht es darum, wie man die beiden Wurzeln aus einer komplexen Zahl auseinanderhält? Über das Vorzeichen, wie bei Wurzeln aus reellen Zahlen, geht es ja nicht.

18.06.2010, 20:29

BarneyG.

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ok ... es sind nur zwei Lösungen ... Big Laugh

19.06.2010, 14:57

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich sowas sehe, habe ich ein grundsätzliches Problem: wie soll die Wurzel aus einer komplexen Zahl definiert sein? verwirrt

Wie ist diese Frage gemeint?
Geht es darum, wie man die beiden Wurzeln aus einer komplexen Zahl auseinanderhält?

Eben genau da ist das Problem. Ein mathematisches Konstrukt wie meinetwegen die Wurzel aus einer komplexen Zahl muß irgendwie definiert sein. Sonst weiß man ja gar nicht, wovon man redet. Und es sollte wohldefiniert sein. Das heißt, wenn du die Wurzel berechnest und ich die Wurzel berechne, sollten wir zu demselben Ergebnis gelangen.

19.06.2010, 16:15

Huggy

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RE: Komplexe Zahl in trigonometrische Form umwandeln
Wurzel hat in der Mathematik mehrere Bedeutungen. Einmal versteht darunter die Lösungen (Plural) einer quadratischen Gleichung. Und diese sind als Lösungsmenge auch wohl definiert. Aber in diesem Sinne kann man nicht von der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{3-3i} \end{eqnarray*}$ sprechen, wie es der Fragesteller getan hat.

Im Reellen kann man aus der Lösungsmenge auf natürliche Weise zwei Funktionen definieren, die positive Wurzel und die negative Wurzel, die man dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt x \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Diese natürliche Trennung über das Vorzeichen ist im Komplexen nicht mehr möglich. Die Auftrennung der Lösungsmenge in zwei (eindeutige) Funktionen erfordert jetzt einen gewissen Willkürakt. Üblich ist folgende Auftrennung:

In Polarkoordinaten sei die komplexe Zahl z definiert durch

$\begin{eqnarray*} z=(r, \varphi)=re^{i\varphi} \end{eqnarray*}$

wobei die Winkelkoordinate $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf den Bereich $\begin{eqnarray*} -\pi < \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$ normiert sei. Dann bezeichnet man

$\begin{eqnarray*} (\sqrt r, \varphi /2) \end{eqnarray*}$

als den Hauptwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt z \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (\sqrt r, \varphi /2+\pi) \end{eqnarray*}$

als den Nebenwert.

19.06.2010, 19:49

BarneyG.

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Zitat:

Diese natürliche Trennung über das Vorzeichen ist im Komplexen nicht mehr möglich. Die Auftrennung der Lösungsmenge in zwei (eindeutige) Funktionen erfordert jetzt einen gewissen Willkürakt.

Das ist schon richtig. Nur sollte man das vielleicht noch etwas präzisieren:

Die Gleichung x² - c = 0 hat über den komplexen Zahlen genau zwei Lösungen, wenn c ungleich 0 ist.

Wenn etwa

x1 = a + i*b

eine Lösung der Gleichung x² - c = 0 ist, dann ist die zweite Lösung

x2 = - x1 = -a - i*b.

Die Multiplikation mit -1 entspricht dabei der Drehung um pi. Die "Wurzel" aus 3 - 3i ist beispielsweise

$\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt{\frac{3}{2} * (\sqrt{2} + 1}) - \sqrt{\frac{3}{2} * (\sqrt{2} - 1}) * i \end{eqnarray*}$

Und die zweite Lösung der Gleichung ist

$\begin{eqnarray*} x_2 = - \sqrt{\frac{3}{2} * (\sqrt{2} + 1}) + \sqrt{\frac{3}{2} * (\sqrt{2} - 1}) * i \end{eqnarray*}$

Man sieht, die beiden Lösungen unterscheiden sich einfach durch die Vorzeichen im Real- und Imaginärteil. Nur kann man jetzt nicht mehr so einfach von der positiven bzw. negativen Wurzel sprechen.

Deshalb die von Huggy dargestellte Unterscheidung in Hauptwert und Nebenwert.

Grüße

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