Normalverteilung, Dichte

18.06.2010, 16:39

saz

Normalverteilung, Dichte

Folgende Aufgabe: X sei normalverteilt mit den Parametern (0,1). Bestimme die Dichte von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$

... klingt ja an sich nicht schwer (ist es bestimmt auch nicht), aber irgendwie stecke ich gerade fest. Ich hatte mir die beiden Hilfsgrößen-/funktionen $\begin{eqnarray*} Z := (X,X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(x,y) = x \cdot y \end{eqnarray*}$ definiert und dann das folgende gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}[X^2 \in B] = \mathbb{P}[\varphi(Z) \in B] = \mathbb{P} [Z \in \varphi^{-1}(B)] <br /> = \int_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}} 1_{\varphi^{-1}(B)}(x,y) \, d\mu_Z<br /> = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} 1_{B}(x \cdot y) \cdot p(x) \, d\lambda(x) \, d\mu_X(y)<br /> \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie komme ich an der Stelle nicht so wirklich weiter und insgeheim glaube ich auch, dass das viel zu umständlich ist...

( $\begin{eqnarray*} \mu_X \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Verteilung von X)

Danke schon mal!

18.06.2010, 17:12

Huggy

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RE: Normalverteilung, Dichte
Keine Ahnung, was dein B sein soll, aber die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Y=X^2 \end{eqnarray*}$ kannst du doch ganz geradlinig hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X^2 \leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y})= ... \end{eqnarray*}$

Und dann brauchst du nur abzuleiten.

18.06.2010, 17:16

saz

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B war einfach eine borel-messbare Menge.

Aber argh, klar... die Ableitung der Verteilungsfunktion ist ja gerade die Dichte Hammer

. So geht's dann natürlich viel einfacher. Danke!

18.06.2010, 20:32

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Huggy möge mir verzeihen, wenn ich drauf hinweise, dass

Zitat:

Original von Huggy
$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X^2 \leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y})= ... \end{eqnarray*}$

nur für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Für die restlichen $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ ist die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} F_Y(y) \end{eqnarray*}$ natürlich noch sehr viel einfacher.

18.06.2010, 20:58

Huggy

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Huggy möge mir verzeihen, wenn ich drauf hinweise, dass

Da das stimmt und eventuell saz vor einem kleinen Punktabzug bewahrt, gibt es nichts zu verzeihen.

18.06.2010, 21:20

saz

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Ja, klar, daran hatte ich schon gedacht. Danke trotzdem für den Hinweis! smile

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